Eigenwerte, Eigenvektoren mit Variable

11.02.2013, 18:52

baba2k

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Eigenwerte, Eigenvektoren mit Variable

Hallo zusammen,

1. ich konnte die Aufgabe ganz gut lösen, nur bin ich mir
am Ende bei den Eigenvektoren unsicher, passt das so?

2. Kann ich zu einer dreifachen Nullstelle nur 2 Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} (\vec{u_1},\vec{u_2}) \end{eqnarray*}$ finden?

3. Heißt das einfach nur, dass sie nicht diagonalisierbar sind?

4. Ist es normal, dass das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ in einem Eigenvektor vorkommt?

Mal wieder viele Fragen... Das wäre aber die letzte dieses Semester...
Dank eurer Hilfe werd ich die Klausur dann hoffentlich auch bestehen smile

smile

Vielen Dank!

Aufgabe:
[attach]28428[/attach]

Meine Rechnung:
[attach]28429[/attach]

11.02.2013, 19:17

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RE: Eigenwerte, Eigenvektoren mit Variable
Bei der Berechnung des charakteristischen Polynoms gehst du ungeschickt vor:
$\begin{eqnarray*} (2-\lambda)((2-\alpha-\lambda)(2+\alpha-\lambda)+\alpha^2) \end{eqnarray*}$
solltest du nicht komplett ausmultiplizieren! Du kannst doch am ersten Faktor schon eine Nullstelle ablesen.

Den Rest $\begin{eqnarray*} ((2-\alpha-\lambda)(2+\alpha-\lambda)+\alpha^2) \end{eqnarray*}$ kann man direkt ausmultiplizieren, leichter geht es, wenn man in den beiden ersten Klammern einen Ausdruck der Form (u-v)(u+v) sieht; aber das ist Kürprogramm.

Bei den Eigenvektoren: Schau dir nochmal den Zusammenhang zwischen x und z an.

Dreifache Nullstelle des Polynoms ("algebraische Vielfachheit der Nullstelle 3") und zwei Eigenvektoren ("geometrische Vielfachheit 2") gibt's.

11.02.2013, 19:24

baba2k

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Oh, du hast völlig recht,
ich hätte ja gleich die eine Nullstelle 2 ablesen können
und hätte dann direkt die pq-Formel anwenden können...
Ich sehe auch den Ausdruck (u-v)(u+v) ist das $\begin{eqnarray*} +\alpha^2 \end{eqnarray*}$ egal?, wie muss ich da vorgehen?

Zu den Eigenvektoren:
Naja $\begin{eqnarray*} x=\alpha\cdot z \end{eqnarray*}$ Aber was hilft mir das?

Danke!

//EDIT Die algebraische Vielfachheit der Nullstelle ist aber schon 3 und nicht 2 oder? Weil bei der pq-Formel ja einfach nur 2 raus kommt.

//EDIT2:

Zitat:

Dreifache Nullstelle des Polynoms ("algebraische Vielfachheit der Nullstelle 3") und zwei Eigenvektoren ("geometrische Vielfachheit 2") gibt's.

Das heißt $\begin{eqnarray*} A_\alpha \end{eqnarray*}$ ist nicht diagonalisierbar, richtig?

11.02.2013, 19:32

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$\begin{eqnarray*} (2-\alpha-\lambda)(2+\alpha-\lambda)= (2-\lambda-\alpha)(2-\lambda+\alpha)=(2-\lambda)^2-\alpha^2 \end{eqnarray*}$
und das lästige $\begin{eqnarray*} +\alpha^2 \end{eqnarray*}$ erledigt sich im Anschluss von selbst.

Schreib mal die Gleichung hin, die sich aus deiner umgeformten Matrix ergibt.

algebraische Vielfachheit ist die Vielfachheit der Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
In diesem Fall ist das Polynom $\begin{eqnarray*} p(\lambda)=(2-\lambda)^3 \end{eqnarray*}$ , die alg Vielfachheit also 3

11.02.2013, 19:37

baba2k

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Achso also:

$\begin{eqnarray*} (u-v)(u+v)=u^2-v^2 \end{eqnarray*}$ dritte binomische Formel? smile

smile

Welche Gleichung soll ich hinschreiben?

//EDIT: Achso:
$\begin{eqnarray*} -\alpha x+\alpha z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\alpha x+\alpha a=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha x=\alpha a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$

Ohl, da war wohl ein rechenfehler drin...

Also
$\begin{eqnarray*} \vec{u}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ a \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{u_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{u_2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So?

$\begin{eqnarray*} A_\alpha \end{eqnarray*}$ ist nicht diagonalisierbar, da eine dreifache algebraische Vielfachheit des EW aber nur 2 EV.

11.02.2013, 19:57

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Hier

Zitat:

Original von baba2k
$\begin{eqnarray*} \alpha x=\alpha a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$

gibt es noch eine Kleingkeit zu beachten...

Sonst passt das alles

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11.02.2013, 19:58

baba2k

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$\begin{eqnarray*} \alpha \not=0 \end{eqnarray*}$

Danke!

11.02.2013, 20:02

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und was ist mit $\begin{eqnarray*} \alpha =0 \end{eqnarray*}$ ?

11.02.2013, 20:02

baba2k

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Durch deinen Tipp beim char. Polynom hätte ich mir heut einiges an Arbeit ersparen können, vielen Dank nochmal dafür! Beim nächsten mal werde ich sicher dran denken!

11.02.2013, 20:04

baba2k

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Mh, das ist eine sehr gute Frage smile

smile

Da würde ja 0=0 rauskommen..., dann gibt es x ja irgendwie nicht.

//EDIT:
Dann hätte ich ja aich irgendwie eine Nullmatrix...

//EDIT 2:
Das ist nur so eine Idee:
3 Unbekannte - 0 Gleichungen = 3 Variablen frei wählen
z=a
y=b
x=c

$\begin{eqnarray*} \vec{u}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{u_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec{u_2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\vec{u_3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_\alpha \end{eqnarray*}$ ist nur diagonalisierbar wenn $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$

11.02.2013, 20:16

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Schreib dir einfach mal $\begin{eqnarray*} A_\alpha \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ hin. Das macht es deutlich smile

smile

11.02.2013, 20:26

baba2k

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Das ergibt die einheitsmatrix smile

smile

aber ist jetzt x=y=z=0 oder so wie ichs im letzten post gemacht habe? wenn nen nullvektor als eigenvektor rauskommt hat man ja was falsch gemacht. das wäre bei x=y=z=0 der fall

11.02.2013, 20:30

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Nicht ganz die Einheitsmatrix, $\begin{eqnarray*} A_0=2E \end{eqnarray*}$ , deswegen ist auch 2 der Eigenwert.
Du hast das vorhin schon richtig gemacht, jeder von Null verschiedene Vektor ist Eigenvektor.

11.02.2013, 20:53

baba2k

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bin leicht verwirrt, muss ich also keine fallunterscheidung machen, oder was meinst du genau mit vorhin? smile

smile

danke

11.02.2013, 21:02

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Du brauchst eine Fallunterscheidung.

"Vorhin" bezog sich auf deine Überlegung

Zitat:

Original von baba2k
//EDIT 2:
Das ist nur so eine Idee:
3 Unbekannte - 0 Gleichungen = 3 Variablen frei wählen
z=a
y=b
x=c

$\begin{eqnarray*} \vec{u}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{u_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec{u_2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\vec{u_3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für den Fall $\begin{eqnarray*} \alpha =0 \end{eqnarray*}$ . Das war richtig.
Aber wenn man gesehen hat, dass $\begin{eqnarray*} A_0=2E \end{eqnarray*}$ ist, dann ist auch so klar, dass jeder von Null verschiedene Vektor ein Eigenvektor ist.

11.02.2013, 22:31

baba2k

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Alles klar, hab ichs mir doch fast gedacht smile

smile

Vielen Dank!

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