Grad der Körpererweiterung bestimmen (mal wieder)

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Kiwiatmb Auf diesen Beitrag antworten »
Grad der Körpererweiterung bestimmen (mal wieder)
Hallo, ich bin's mal wieder mit dem leidigen Thema Gradbestimmung.

Folgende Aufgabe habe ich mir gestellt: Bestimme den Grad des Zerfällungskörpers von x^4-2.

Der Zerfällungskörper ist .

Es gilt .

Also muss der gesuchte Grad auf jeden Fall kleiner als 24 sein und durch 4 teilbar (bleiben leider noch 24,20,...,8,4). Ich vermute sehr stark, dass er 8 ist. Aber wieso? Wie bestimme ich das Minimalpolynom von oder ?
Am liebsten wäre mir eine Begründung für den Erweiterungsgrad 8, die sich auf Grade von Polynomen, Körpererweiterungen u.ä. stützt und weniger auf das Finden einer Basis. (Ich weiß - auch noch Ansprüche hat der werte Herr... Lehrer )

Danke schon jetzt! smile
JdPL Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde mir zuerst überlegen, ob größer als 2 sein kann, und wenn nicht, feststellen, dass
Kiwiatmb Auf diesen Beitrag antworten »

Hm. Es gilt, dass i Nullstelle ist von und da das Minimalpolynom dieses Polynom teilen muss, kann der Grad nur kleiner oder gleich 2 sein. Richtig?
JdPL Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. wenn ich mich richtig erinnere, gilt
[(K(a))(b):K(a)] [K(b):K]

Auf der anderen Seite kann man eine Grad 1 Erweiterung ziemlich schnell erkennen/ausschließen.
Kiwiatmb Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen, vielen Dank für die schnelle Hilfe!

Hm. Also die Formel hatten wir leider nicht und ich sehe irgendwie grade nicht wirklich, warum sie gilt. Wenn du einen kurzen Beweis parat hast, würde ich mich freuen. Ansonsten hält sich meine Aufnahmefähigkeit gerade etwas in Grenzen, morgen ist Klausur und der Stoff ist so schon umfangreich genug. Augenzwinkern
Interessant wäre es aber auf jeden Fall!
JdPL Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich versuch's:

Sei n=[K(b):K] also gibt es ein Polynom p(x) in K[x] vom Grad n mit p(b)=0.
p(x) liegt aber auch in (K(a))[x]. da K eine Teilmenge von K(a) ist.
also gibt es ein Polynom (nicht notwendigerweise das Minimalpolynom!) in K(a) vom Grad n, das b als Nullstelle hat.
Also [(K(a))(b):K(a)]n

Ich wünsche dir viel Erfolg bei der Klausur morgen.
 
 
Kiwiatmb Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht plausibel aus. Ich hatte eine ähnliche Überlegung, hab aber vergessen, dass dieses Polynom grade Grad n hat und dann ging's nicht vorwärts. Dankeschön.

Noch eine kurze Frage dazu: Erste Zeile deines Beweises. Hier kann/sollte man doch das Minimalpolynom von b über K nehmen, oder? Das hat ja eben Grad n ( =[K(b):K] ).
Denn es gibt ja mit Sicherheit auch andere Polynome p(x) in K[x] mit p(b)=0 und einem größeren Grad als n. Wählt man das Minimalpolynom, kann man sich sicher sein, dass es Grad n hat und der Beweis funktioniert so, wie du ihn geschrieben hast. Richtig?
JdPL Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, p(x) hat Grad n und ist damit ein Minimalpolynom.
Kiwiatmb Auf diesen Beitrag antworten »

Und nochmals vielen Dank, hat mir alles sehr geholfen! Freude
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