Wahrscheinlichkeit: Gleichzeitige Ereignisse in vorgebener Zeit

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uyo Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit: Gleichzeitige Ereignisse in vorgebener Zeit
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich stehe vor folgender Frage:

Anwender greifen auf eine Anwendung zu, welche Dateien zum Download anbietet. Es sollen maximal drei parallele Downloads (DL_par) gleichzeitig laufen.

Ein Download dauert 300 Sekunden (DL_time).
Pro Stunde werden 20 Downloads (DL_perH) durchgeführt.

Die Frage lautet:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit (WS), dass mehr als drei Downloads gleichzeitig laufen? Es reicht, wenn dies nur kurz der Fall ist.

Meine Ideen:
In einem ersten Schritt dachte ich die bedingte WS bringts und multipliziere die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:

Einzelne WS ist gegeben durch = 300/3600 = 0,0833

Zusammengefasst über vier Downloads im gleichen Zeitraum ergibt sich WS = (300/3600)^3=0,000579

Jetzt fehlt mir natürlich in der Berechnung völlig die Anzahl der Downloads pro Stunde. Ich weiß, dass es da irgendwie mit rein muss und das es in Richtung Binomialkoeffizient gehen muss.

Die Zeit drückt, kann mir wer weiter helfen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von uyo
Die Zeit drückt, kann mir wer weiter helfen?

Die Zeit drückt immer, wenn es um derartige Warteschlangen-Probleme geht.

Zitat:
Original von uyo
Pro Stunde werden 20 Downloads (DL_perH) durchgeführt.

Zunächst würde ich diesen Wert als mittleren Wert auffassen. D.h., es ist nicht so, dass jede Stunde genau 20 Downloads anfallen, sondern dass die Downloads unabhängig voneinander anfallen mit einer Intensität von 20 pro Stunde, d.h. die in Zeit anfallende Anzahl an Downloads ist poissonverteilt mit Parameter , die Zeit zwischen zwei zeitlich aufeinander folgenden Downloadstarts ist dann übrigens exponentialverteilt mit Parameter .

Dann muss man fragen, über welchen Zeitraum du diese Frage

Zitat:
Original von uyo
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit (WS), dass mehr als drei Downloads gleichzeitig laufen? Es reicht, wenn dies nur kurz der Fall ist.

beantwortet haben willst, denn WS hängt von ab, d.h. . Geht es nur um einen konkreten kurzen Moment, dann ist einfach berechenbar. Für lange, sehr lange Zeitäume ist hingegen , d.h. es passiert mit Sicherheit irgendwann. Wirklich schwierig ist die genaue Berechnung für mittlere Zeiträume, als z.B. eine Stunde.


Befassen wir uns erstmal mit dem machbaren, also :

Das Ereignis "mehr als drei Downloads" zu einem festen Zeitpunkt tritt genau dann ein, wenn in den 300 Sekunden vor diesem Zeitpunkt mindestens vier Downloads gestartet wurden. Nach der obigen Poissonannahme ist diese Anzahl poissonverteilt mit , es gilt also




Für größere fallen mir zunächst nur Abschätzungen ein: Da nach einem Zwischenabstand von jeweils mindestens 300 Sekunden stets eine neue Situation entsteht (d.h. keiner der alten Aufträge läuft noch) ist die Anzahl der Downloads zu diesen beiden Zeitpunkten unabhängig voneinander. Man zerhackt also den Zeitbereich T in Abschnitte zu je und schaut da jeweils nach, ob maximal drei Downloads stattfinden: Ist das wenigstens einmal nicht der Fall, dann ist das Ereignis "mehr als drei Downloads" im Gesamtzeitraum wenigstens einmal passiert. Leider gilt die Umkehrung nicht, d.h. ein kurzzeitiges Eintreten dieses Ereignisses kann einem bei diesen groben Zeitraster (welches der für die Rechnung benötigten Unabhängigkeit geschuldet war) durch die Lappen gehen. Für beliebige bekommen wir mit dieser Methode nur

.

(das +1 im Exponenten, weil man auch gleich am Anfang "nachschauen" kann). Für den Zeitraum einer Stunde ergibt das

,

aber man beachte das : Tatsächlich wird noch ein Stückchen größer sein als diese ca. 70%.

P.S.: Wenn du mehr als nur solche Abschätzungen benötigst, dann würde ich zu Simulation raten. Damit bekommt man hier schneller Resultate, als mit einer genauen theoretischen Rechnung (die wohl auf ziemlich hässliche Mehrfachintegrale hinausläuft).

EDIT: Ziemlich blöder Verrechner war da noch drin - korrigiert. Augenzwinkern


EDIT2: Eine kleine Simulation (die ich hoffentlich richtig programmiert habe) zeigt, dass die hier ermittelte untere Schranke 70% nicht besonders gut ist: Der tatsächliche Wert für liegt zwischen 91.3% und 91.4%. Augenzwinkern

Na immerhin taugt die Formel oben zum Nachweis des bereits erwähnten . Big Laugh
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