Minimalpolynom von a+b, Homomorphismen von K(a+b) in den algebraischen Abschluss von K

13.02.2013, 20:30

nore

Minimalpolynom von a+b, Homomorphismen von K(a+b) in den algebraischen Abschluss von K

Hi,

hier mein Problem:

Sei $\begin{eqnarray*} L/K \end{eqnarray*}$ endliche Körpererweiterung, $\begin{eqnarray*} L=K(a)=K(b) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} Hom_K(L,\bar{K})=\{\sigma_1,...,\sigma_n\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} [L:K] = n \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:

a) Ist $\begin{eqnarray*} L=K(a+b) \end{eqnarray*}$ , so gilt für das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} f_{a+b}=\prod_{i=1}^n (X-\sigma_i(a)-\sigma_i(b)) \end{eqnarray*}$ .

b) Ist $\begin{eqnarray*} L=K(ab) \end{eqnarray*}$ , so gilt für das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} f_{ab}=\prod_{i=1}^n (X-\sigma_i(a)\sigma_i(b)) \end{eqnarray*}$ .

c) Ist $\begin{eqnarray*} K(c)\leq \end{eqnarray*}$ , so gilt für das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} f_{c}^{[L:K(c)]}=\prod_{i=1}^n (X-\sigma_i(c)) \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe nicht ganz so viel und hoffe, hier Hilfe zu bekommen, insbesondere Hinweise, was ich mir angucken sollte, um mehr zu verstehen.

Fangen wir mal mit der a) an: $\begin{eqnarray*} f_{a+b}(a+b)=0 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} id\in{\sigma_1,...,\sigma_n} \end{eqnarray*}$ . Bleibt also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f_{a+b}\in K[X] \end{eqnarray*}$ und dass es minimal ist.
$\begin{eqnarray*} f_{a+b} = X^n + \sum_{i=0}^{n-1} X^i \cdot (-1)^i\sum_{1\leq j_1<j_2<...<j_{n-i}\leq n}(\sigma_{j_1}(a+b)\cdot\sigma_{j_2}(a+b)\cdot...\cdot\sigma_{j_1}(a+b)) \end{eqnarray*}$
Glaube ich zumindest. Mit dem ausmultiplizieren von solchen Monstern vertue ich mich gerne mal. Aber OK.
Zu zeigen wäre jetzt also, dass die Summen $\begin{eqnarray*} \sum_{1\leq j_1<j_2<...<j_{n-i}\leq n}(\sigma_{j_1}(a+b)\cdot\sigma_{j_2}(a+b)\cdot...\cdot\sigma_{j_1}(a+b)) \end{eqnarray*}$ alle in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ sind. Keine Ahnung, wie das gehen soll.
Und außerdem ist noch zu zeigen, dass das Polynom irreduzibel in $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ ist. Reicht es da, zu zeigen, dass (für $\begin{eqnarray*} n>2 \end{eqnarray*}$ ) jeweils das Produkt zweier der Linearfaktoren $\begin{eqnarray*} (X-\sigma_i(a)-\sigma_i(b)) \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ ist? Kann man das überhaupt zeigen? Ist das einfach?

Wie ihr seht, habe ich von dem zugrundeliegenden Thema noch nicht so viel Ahnung. Ich verzweifle aber auch ein wenig daran, was genau ich mir angucken soll. Klar, ich kann alles mögliche über Körpererweiterungen und Minimalpolynome lesen. Aber ob ich da finde, was ich suche?

Vielen Dank auf jeden Fall für jede Hilfe.

Viele Grüße
David

13.02.2013, 23:17

zweiundvierzig

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Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} a \in L \end{eqnarray*}$ . Dann ist für alle $\begin{eqnarray*} \sigma_i \in \mathrm{Hom}_K(L,\overline{K}) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} f(\sigma_i(a)) = 0 \end{eqnarray*}$ (Warum?). Das hilft Dir weiter.

Edit: Bei Deiner Abschrift von (c) ist etwas schiefgelaufen.

14.02.2013, 10:29

nore

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RE: Minimalpolynom von a+b, Homomorphismen von K(a+b) in den algebraischen Abschluss von K
Hallo 42,

danke für die Antwort. Das bringt mich hierhin:

Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} a \in L \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} \sigma_i \end{eqnarray*}$ sind K-linear, also ist $\begin{eqnarray*} 0=\sigma_i(0)=\sigma_i(f(a)) \end{eqnarray*}$ und weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Polynom und $\begin{eqnarray*} \sigma_i \end{eqnarray*}$ linear sind, können wir das reinziehen: $\begin{eqnarray*} =f(\sigma_i(a)) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt da diese Aussage gezeigt ist, muss das Minimalpolynom so aufgebaut sein, wie es in der Aufgabe ist, denn das ist das Polynom kleinsten Grades, dass die gerade gezeigte Bedingung erfüllt. Und einen höheren Grad darf es auch nicht haben, da bei einer einfachen Körpererweiterung der Grad der Erweiterung dem Grad des Minimalpolynoms vom primitiven Element entspricht.

Damit sind a) und b) gezeigt. In c) fehlte ein L und war ein c zu viel, deshalb hier nochmal:

c) Ist $\begin{eqnarray*} K(c)\leq L \end{eqnarray*}$ , so gilt für das Minimalpolynom : $\begin{eqnarray*} f_{c}^{[L:K(c)]}=\prod_{i=1}^n (X-\sigma_i(c)) \end{eqnarray*}$ .

Aber ansonsten verstehe ich die Notation trotzdem nicht so richtig.

Was bedeutet $\begin{eqnarray*} K(c)\leq L \end{eqnarray*}$ ? Und was soll das $\begin{eqnarray*} [L:K(c)] \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f_{c}^{[L:K(c)]} \end{eqnarray*}$ ?

Viele Grüße und vielen Dank

18.02.2013, 14:16

zweiundvierzig

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Deine Begründungen zu (a) und (b) sind richtig. Zu (c): $\begin{eqnarray*} K(c) \end{eqnarray*}$ ist Unterkörper von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ und es wird die $\begin{eqnarray*} [L:K(c)] \end{eqnarray*}$ -te Potenz des Polynoms betrachtet.

19.02.2013, 13:39

nore

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Mit dem vorherigen Argument erhalten wir $\begin{eqnarray*} f_c(\sigma_i(c)) = 0 \end{eqnarray*}$ . Das kleinste Polynom in $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ , dass diese Bedingung erfüllt, sollte $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n (X-\sigma_i(c)) \end{eqnarray*}$ sein. Es sei denn, die $\begin{eqnarray*} \sigma_i(c) \end{eqnarray*}$ sind nicht paarweise verschieden.

An der Stelle hilft vielleicht folgendes: Da $\begin{eqnarray*} [L:K]_s=|Aut_K(L)|\leq|Hom_K(L,\bar{K})| = [L:K]\leq[L:K]_s \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} [L:K]=[L:K]_s \end{eqnarray*}$ , ist die Erweiterung galoisch. Das bedeutet, dass auch $\begin{eqnarray*} L/K(c) \end{eqnarray*}$ galoisch ist und es eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} Hom_K(L,\bar{K}) \end{eqnarray*}$ gibt, die genau den Fixkörper $\begin{eqnarray*} K(c) \end{eqnarray*}$ hat und - weil $\begin{eqnarray*} L/K(c) \end{eqnarray*}$ galoisch ist - genau Ordnung $\begin{eqnarray*} [L:K(c)] \end{eqnarray*}$ hat. Das bedeutet, so viele $\begin{eqnarray*} \sigma_i (c) \end{eqnarray*}$ fallen jeweils zu einem zusammen. (Will sagen: für $\begin{eqnarray*} \sigma_i , \sigma_j \end{eqnarray*}$ aus derselben Nebenklasse gilt $\begin{eqnarray*} \sigma_i(c)=\sigma_j(c) \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet, das Minimalpolynom ist $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n / [L:K(c)]} (X-\sigma_i(c)) \end{eqnarray*}$ wobei die $\begin{eqnarray*} \sigma_i \end{eqnarray*}$ so angeordnet sein müssen, dass die ersten $\begin{eqnarray*} n / [L:K(c)] \end{eqnarray*}$ Stück aus unterschiedlichen Nebenklassen sind. Weiß gerade nicht, wie ich das schöner ausdrücken kann.

Dann passt es. Aber ist die Argumentation auch richtig?

Vielen Dank für deine bisherigen Tips!

Viele Grüße
David

19.02.2013, 18:56

tmo

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Warum sollte die Erweiterung denn normal sein?

Aber man kriegt das auch ohne Galoistheorie hin. Man braucht nur etwas Theorie über die Fortsetzung von Homomorphismen.

Wir setzen mal $\begin{eqnarray*} [K(c):K] = d \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} L/K \end{eqnarray*}$ separabel ist, gilt dies auch für $\begin{eqnarray*} L/K(c) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K(c)/K \end{eqnarray*}$ .

Daher ist $\begin{eqnarray*} Hom_K(K(c),\overline K) = \{ \tau_1, \dotsc, \tau_d\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_c = \prod_{i=1}^d (X-\tau_i(c)) \end{eqnarray*}$ wegen a).

Da $\begin{eqnarray*} L/K(c) \end{eqnarray*}$ separabel ist, kann man jedes $\begin{eqnarray*} \tau_i \end{eqnarray*}$ auf genau $\begin{eqnarray*} \frac{n}{d} \end{eqnarray*}$ Weisen zu einem Homomorphismus aus $\begin{eqnarray*} Hom_K(L,\overline K) \end{eqnarray*}$ fortsetzen.

Dies liefert, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} \tau_i \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} \frac{n}{d} \end{eqnarray*}$ Indizes $\begin{eqnarray*} i_1 , \dotsc, i_{\frac{n}{d}} \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \tau_i = {\sigma_{i_j}}_{|K(c)} \end{eqnarray*}$ .

Das ist ja im Wesentlichen die Behauptung der c). Nämlich, dass $\begin{eqnarray*} \sigma_{i}(c) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i = 1, \dotsc, n \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ Konjugierten von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ jeweils alle genau $\begin{eqnarray*} \frac{n}{d} \end{eqnarray*}$ mal durchläuft.

22.02.2013, 20:45

tmo

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RE: Minimalpolynom von a+b, Homomorphismen von K(a+b) in den algebraischen Abschluss von K
Ich erlaube mir mal den Thread nochmal rauszuholen, weil ich dazu noch was erwähnen wollte:

Zitat:

Original von nore
Fangen wir mal mit der a) an: $\begin{eqnarray*} f_{a+b}(a+b)=0 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} id\in{\sigma_1,...,\sigma_n} \end{eqnarray*}$ . Bleibt also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f_{a+b}\in K[X] \end{eqnarray*}$ und dass es minimal ist.

Du warst mit diesem Ansatz eigentlich richtig gut dabei.

Zu zeigen, dass es minimal ist, ist kaum nötig, da wegen $\begin{eqnarray*} L = K(a+b) \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hat. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat auch Grad n. Also war da nichts zu zeigen.

In der Tat war wirklich "nur" noch $\begin{eqnarray*} f \in K[X] \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

Und da greift der Standardtrick:

Man zeigt, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} Hom_K(L,\overline K) \end{eqnarray*}$ invariant ist.

Dazu ist hier konkret zu zeigen, dass mit $\begin{eqnarray*} \sigma_i \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \tau\sigma_i \end{eqnarray*}$ ganz $\begin{eqnarray*} Hom_K(L,\overline K) \end{eqnarray*}$ durchläuft, wenn $\begin{eqnarray*} \tau \in Hom_K(L,\overline K) \end{eqnarray*}$ fest ist.

Das ist nicht so klar wie im Galoisfall, da wir ja keine Gruppe haben. Aber man beachte, dass die Abbildung $\begin{eqnarray*} Hom_K(L,\overline K) \to Hom_K(L,\overline K), \sigma \mapsto \tau\sigma \end{eqnarray*}$ injektiv und folglich bijektiv ist.

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