Grenzwert/Limes ausrechnen

13.02.2013, 21:26

noobie000

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Grenzwert/Limes ausrechnen

Meine Frage:
Ich soll den folgenden Grenzwert bestimmen :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} (\frac{3}{(x-1)(x^{2}+x+1) } - \frac{1}{x-1} ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
also ich weiß dass der lim (a-b) = (lim a) - (lim b)
und dass lim (a/b) = (lim a)/(lim b).

So habe ich das umgeschrieben und dann für alle x jeweils 1 eingesetzt. Bei beiden Brüchen war der Nenner jeweils = 0 . Da man durch Null nicht teilen kann dachte ich mir die Antwort wäre "nicht definiert" oder so etwas. Aber in meinem Lösungsskript steht -1. Kann mir das einer erklären ? verwirrt

verwirrt

13.02.2013, 21:31

HAL 9000

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Auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen, und dann mal die Nullstellen des Zählers betrachten! In der daraus folgenden Faktorisierung des Zählers taucht dann (x-1) auf, was du dann gegen den entsprechenden Faktor im Nenner kürzen kannst.

13.02.2013, 21:31

noobie000

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Okay die nächsten Aufgaben sehen auch alle so aus dass bei Einsetzen von x in den Nennern Nullen stehen, und bei den letzten beiden geht sogar x gegen 0 unglücklich

unglücklich

13.02.2013, 21:33

noobie000

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Okay wie bestimme ich nochmal die Nullstellen ? War das dieses, gucken worin man 3 einseten müsste damit 0 rauskommt? das wäre ja dann x-3. Also ist x-3 eine Nullstelle des Zählers?

13.02.2013, 21:35

HAL 9000

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Nicht Löcher in den Bauch fragen, sondern erstmal anfangen:

Zitat:

Original von HAL 9000
Auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen

13.02.2013, 21:43

noobie000

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okay also das wäre dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} (\frac{3x^{2}+3x+2 }{x-1} ) \end{eqnarray*}$

?

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13.02.2013, 21:54

HAL 9000

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Was soll das denn?

Der erste Schritt ist einfach

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{(x-1)(x^2+x+1)} - \frac{1}{x-1} = \frac{3}{(x-1)(x^2+x+1)} - \frac{(x^2+x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{3-(x^2+x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)} \end{eqnarray*}$ .

13.02.2013, 22:29

noobie000

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ah okay, ja tut mir leid hatte grad einen ziemlichen hänger

okayund wie fahre ich dann fort? :/

13.02.2013, 22:55

noobie000

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ah muss ich jetzt schauen was ich für x einsetzen muss, damit im Zähler 3 minus die Klammer = 0 ergibt ??

das wäre ja dann 1

13.02.2013, 23:19

Mulder

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HAL hat ja eigentlich schon gesagt, wie es weiter gehen soll:

Zitat:

Original von HAL 9000
In der daraus folgenden Faktorisierung des Zählers taucht dann (x-1) auf, was du dann gegen den entsprechenden Faktor im Nenner kürzen kannst.

Du hast im Zähler nun

$\begin{eqnarray*} -(x^2+x-2) \end{eqnarray*}$

stehen. Berechne mal die beiden Nullstellen, dann weißt du auch, in welche Linearfaktoren dieses Polynom zerfällt. Anschließend kürzen.

14.02.2013, 00:30

noobie000

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Okay ich hab nur leider echt keine Ahnung mehr wie ich da die Nullstellen berechne unglücklich

unglücklich

14.02.2013, 00:41

aleos

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Ohne mich einmischen zu wollen, aber für die Nullstellenberechnung kannst du die Mitternachtsformel, pq-Formel oder sonstige Techniken anwenden.
Am einfachsten ist aber die Mitternachtsformel, falls man keine Idee hat.

14.02.2013, 14:20

noobie000

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okay , in die pq formel muss ich doch hier dann für p und für q jeweils 1 einsetzen oder ?

dann kommt bei mir irgendwann::

$\begin{eqnarray*} x1,2 = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} -1} \end{eqnarray*}$

aber wenn ich das in der wurzel ausrechne, würde da ja stehen wurzel von -3/4, kann man wurzeln aus negativen zahlen ziehen ?! ich glaube nicht oder?

Ich weiß nicht wie ich ab der stelle weitermachen soll

14.02.2013, 14:52

Mulder

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Nein. pq-Formel bitte nochmal nachschlagen.

14.02.2013, 16:11

noobie000

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ist die pq formel nicht $\begin{eqnarray*} x1,2 = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^{2} -q} \end{eqnarray*}$ ?

oder habe ich p und q falsch eingesetzt?

14.02.2013, 16:12

Mulder

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Zitat:

Original von noobie000
oder habe ich p und q falsch eingesetzt?

Ja, hast du. Jedenfalls das q.

14.02.2013, 16:20

noobie000

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Warum ist es in dem Fall nicht 1 ?

14.02.2013, 16:23

Mulder

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Warum sollte q denn wohl 1 sein? verwirrt

verwirrt

Das kann man doch nun eigentlich nachlesen. Die pq-Formel ist ausgelegt für die Lösung von

$\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$

Man erhält dann

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = - \frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2 - q} \end{eqnarray*}$

Und nun bitte mal die Augen aufmachen:

$\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+x-2=0 \end{eqnarray*}$

Was ist denn dann dein q? Sicher nicht 1.

14.02.2013, 17:03

noobie000

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AH ich habs:

x²+x-2 ist nämlich falsch

mein fehler

das hab ich zwar geschrieben aber das ist quatsch

in der Aufgabe ist es nämlich wenn man den zweiten Bruch mit (x²+x+1) erweitert:

$\begin{eqnarray*} \frac{3- 1\times (x^{2} +x+1)}{(x-1)(x^{n} +x+1)} \end{eqnarray*}$

sieht aus als hätte ich da in einem anflug von genialität 3 - 1 gerechnet, warum auch immer.

auf jeden fall steht da ja dann tatsächlich :
$\begin{eqnarray*} \frac{3- (x^{2} +x+1)}{(x-1)(x^{n} +x+1)} \end{eqnarray*}$

und ich versuche quasi die nullstelle von $\begin{eqnarray*} (x^{2} +x+1) \end{eqnarray*}$

rauszufinden. und da ist q doch 1 ?

14.02.2013, 17:10

Mulder

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Nein, das war vorher wohl richtig. Vereinfache doch

$\begin{eqnarray*} 3-(x^2+x+1) \end{eqnarray*}$ mal.

(wobei ich dir das ja schon abgenommen hatte)

Welchen Sinn soll es denn haben, jetzt die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} (x^2+x+1) \end{eqnarray*}$ zu suchen? Bringt doch nichts. Außerdem hat das Ding auch gar keine Nullstellen, wie du selber schon festgestellt hast.

14.02.2013, 17:14

noobie000

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keine ahnung ich hab ehrlich gesagt auch keine ahnung warum das wurde mir oben als tipp genannt ich hab von nullstellen keinen schimmer mehr :/

okay also du hast recht das ist ja wirklich $\begin{eqnarray*} x^{2} +x+2 \end{eqnarray*}$ .

okay aber wenn ich das in die pq formel einsetze also 1 für p und 2 für q kommt doch wieder etwas negatives in der wurzel raus!!

14.02.2013, 17:16

Mulder

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Weil wir ja auch - wie ich im übrigen schon mehrfach schrieb - nicht

$\begin{eqnarray*} x^2+x+2=0 \end{eqnarray*}$

vorliegen haben, sondern

$\begin{eqnarray*} x^2+x {\color{red}-} 2 =0 \end{eqnarray*}$

14.02.2013, 17:23

noobie000

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ah habs dann ist x1= 1 und x2= - 2 smile

smile

kannst du mir noch erklären warum wir minus 2 in der klammer stehen haben ? :/

3 - (x²+x+1)
--> 3-1 = 2 dachte ich ?

14.02.2013, 17:24

Mulder

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Steht doch noch ein Minus vor der Klammer:

$\begin{eqnarray*} -(x^2+x-2) \end{eqnarray*}$

Und Minus mal minus ergibt wieder plus.

14.02.2013, 17:34

noobie000

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hm okay

gut und was sagen mir jetzt die Nullstellen ? Wie errechne ich damit den Grenzwert?

14.02.2013, 17:37

Mulder

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Mit diesen beiden Nullstellen ergibt sich die Faktorisierung

$\begin{eqnarray*} -(x^2+x-2) = -(x+2)(x-1) \end{eqnarray*}$

Und wie auf Seite 1 schon gesagt wurde, kann man das (x-1) nun rauskürzen.

14.02.2013, 17:39

noobie000

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kannst du mir erklären warum sich diese faktorisierung ergibt ?

14.02.2013, 17:44

Mulder

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Also es ist ein bisschen schwierig, jetzt irgendwie den kompletten Schulunterricht in einem Forum zu ersetzen.

Hat $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ die Nullstelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , so lässt sich $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ohne Rest durch $\begin{eqnarray*} (x-a) \end{eqnarray*}$ dividieren, man kann also diesen Linearfaktor "abspalten".

Wir haben zwei Nullstellen gefunden: 1 und -2. Also müssen die beiden Linearfaktoren $\begin{eqnarray*} (x+2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x-1) \end{eqnarray*}$ in dem Polynom $\begin{eqnarray*} -(x^2+x-2) \end{eqnarray*}$ "drinstecken". Mehr Linearfaktoren können es aber auch nicht sein, denn der Grad muss ja 2 sein. Darum hat man in diesem Fall, wenn man die beiden Nullstellen berechnet, eben die vollständige Linearfaktorzerlegung schon gefunden.

Formal steckt dahinter eben Polynomdivision. Zum Beispiel (geht auch andersrum)

$\begin{eqnarray*} (x^2+x-2) \div (x-1) = x+2 \end{eqnarray*}$

(wenn du willst, kannst du das ja mal nachrechnen)

Und wenn du jetzt auf beiden Seiten der Gleichung mit (x-1) multiplizierst, erhälst du eben

$\begin{eqnarray*} (x^2+x-2) = (x-1) \cdot (x+2) \end{eqnarray*}$

Macht man ja gerne bei Polynomen höheren Grades: Eine Nullstelle raten, um dann eben mittels Polynomdivision das Polynom zu faktorisieren. Diesen umständlichen Weg mussten wir hier nicht gehen, weil wir bei einem Polynom von Grad 2 ja die pq-Formel zur Verfügung haben.

14.02.2013, 17:50

noobie000

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okay und nach dem kürzen bleibt dann übrig

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+2)}{x^{2}+x+1) } \end{eqnarray*}$

und weil in der aufgabe der limes gegen 1 geht kann ich jetzt 1 für x einsetzen und rauskommt : 1. richtig ?

14.02.2013, 17:52

Mulder

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Zitat:

Original von Mulder
Mit diesen beiden Nullstellen ergibt sich die Faktorisierung

$\begin{eqnarray*} -(x^2+x-2) = -(x+2)(x-1) \end{eqnarray*}$

Bitte an dieses Minus vor der Klammer denken!

Damit ergibt sich als Grenzwert also -1.

14.02.2013, 18:21

noobie000

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okay steht so auch in der lösung, hast recht! vielen dank!

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