Wie prüft man, ob eine Funktion umkehrbar ist ? |
| 13.02.2013, 21:45 | noobie000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Wie prüft man, ob eine Funktion umkehrbar ist ? Ja also die Frage steht im Titel, wie prüft man ob eine Funktion umkehrbar ist ? Meine Ideen: Versucht man einfach drauflos sie umzukehren und wenn man irgendwie keinen Weg sieht, heißt das sie ist es nicht? Das wahrscheinlich weniger :/ |
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| 14.02.2013, 01:51 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man muss das allgemeiner betrachten, denn es kann eine Funktion durchaus auch umkehrbar sein, ohne dass die Gleichung der Umkehrfunktion berechenbar ist. Da bei der Umkehrfunktion Urmenge und Bildmenge (Wertemenge) zu vertauschen sind, muss die Funktion auf Bijektivität untersucht werden. Eine bijektive Abbildung hat zur Folge, dass auch deren Umkehrung möglich ist bzw. existiert. Auf geometrischem Wege erhält man den Graphen der Umkehrfunktion durch Spiegelung an der 1. Mediane (Winkelhalbierende des 1./3. Quadranten). mY+ |
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| 14.02.2013, 14:11 | noobie000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay und was bedeutet das dann in der praxis wenn hier in der aufgabe steht "Prüfen Sie, ob folgende Funktionen umkehrbar sind" ? :/ wie gehe ich da am besten vor ? |
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| 14.02.2013, 15:50 | Cheftheoretiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du musst zeigen das: wobei die Umkehrfunktion ist. |
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| 14.02.2013, 17:05 | noobie000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay kann ich also einfach nach x auflösen und schauen obs dann dafür genau einen y wert gibt ? |
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| 14.02.2013, 18:18 | Cheftheoretiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie auflösen? Du präfst einfach beide Bedingungen nach. Wenn beide erfüllt sind, dann ist die Funktion umkehrbar. |
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| 14.02.2013, 18:41 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich finde richtig, aber ein wenig theoretisch. ( Cheftheoretiker eben 
)Bevor man g(x) überhaupt berechnet, kann man doch erst mal bei f(x) notwendiges und hinreichendes prüfen. |
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| 14.02.2013, 19:45 | noobie000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay also im Prinzip "probier" ichs einfach. oder gibt es irgendeinen allgemeineren Weg, irgendeinen "Beweis" ? je praktischer desto besser! :/ |
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| 15.02.2013, 20:31 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Den praktischen Weg (geometrisch) und anderes habe ich dir bereits oben aufgezeigt. Und nochmals (an den Theoretiker): Auch wenn die Umkehrfunktion g(x) nicht berechenbar ist, kann sie dennoch existieren. g(f(x)) kann dann nicht nachgeprüft werden (?). mY+ |
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| 15.02.2013, 22:28 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
probieren ist ein wenig diffus, aber man könnte doch bei stetigen Funktionen nach Monotonie, speziell nach stenger Monotonie schauen. Daran "scheitern" dann schon viele Funktionen offensichtlich. --> die Umkehrrelation ist keine Funktion. Bei nichtstetigen ( und naürlich auch bei stetigen ) Funktionen ist wohl erstmal zu prüfen, ob diese injektiv sind. Wenn ja, dann prüft man, ob Surjektivität vorliegt. Letzteres hängt aber sehr von der gewählten Zielmenge ab. Das wäre so grob umrissen ein Leitfaden. Wenn man es nämlich in den Anforderungen zu weit treibt, gerät man wieder in die reine Theorie ( siehe oben ) , die dann allerdings nichts "Konkretes" mehr anbietet. Am besten ist wohl, immer wieder bei vorgegebenen Funktionen das selbst zu überprüfen. Beispiel : hat eine Umkehrfunktion? |
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| 15.02.2013, 23:04 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also muss dann wohl eine Bijektion vorliegen.
mY+ |
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| 16.02.2013, 00:07 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, Wenn Zielmenge = Wertemenge ist. Das muss aber nicht immer vorliegen: ist injektiv aber nicht surjektiv. |
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| 16.02.2013, 11:42 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann willst du damit wohl sagen, dass f: x --> 2x nicht bijektiv und damit nicht umkehrbar ist? 
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