Was heißt Zufallsvariable X in L^2

14.02.2013, 00:08

Duude

Was heißt Zufallsvariable X in L^2

Hallo,
ich habe eine Aufgabe gegeben, in der die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} X \in L^2 \end{eqnarray*}$ vorkommt. Dabei ist L so eine Art geschwungenes L und X eine Zufallsvariable. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, was $\begin{eqnarray*} X \in L^2 \end{eqnarray*}$ bedeutet.
Ich nehme an, es bedeutet etwas in die Richtung wie X ist zweimal integrierbar, es wird ja auch ähnlich geschrieben, wenn eine Funktion stetig ist (in Analysis z.B.)

Ich würde mich freuen, wenn ihr mir hier weiterhelfen könnt.

Hier mal noch die genaue Aufgabe der Vollständigkeit halber:
Sei X eine reelle Zufallsvariable mit $\begin{eqnarray*} X \in L^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Zeige: $\begin{eqnarray*} E(a \cdot X + b))a \cdot E(X) + b \end{eqnarray*}$ .

Ich habe das gelöst, indem ich den Erwartungswert über das Integral über die Zufallsvariable mal die Verteilung berechnet habe. Dann das Integral auseinanderziehen und da das Integral von - unendlich bis unendlich über die Dichtefunktion gleich 1 ist, ergibt sich was zu zeigen ist.

Nun werde ich wohl irgendwo implizit verwendet habe, dass $\begin{eqnarray*} X \in L^2 \end{eqnarray*}$ gilt, obwohl ich nicht weiß, was es bedeutet.

Freue mich über Hilfe.
lg

14.02.2013, 07:44

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} X \in L^2 \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass das zweite Moment dieser Zufallsgröße existiert, d.h. $\begin{eqnarray*} E(X^2)<\infty \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Duude
Sei X eine reelle Zufallsvariable mit $\begin{eqnarray*} X \in L^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Zeige: $\begin{eqnarray*} E(a \cdot X + b))a \cdot E(X) + b \end{eqnarray*}$ .

Anscheinend hast du dich hier vertippt und meinst

$\begin{eqnarray*} E(a \cdot X + b) = a \cdot E(X) + b \end{eqnarray*}$ .

Tatsächlich würde hier bereits die schwächere Voraussetzung $\begin{eqnarray*} X \in L^1 \end{eqnarray*}$ . d.h. $\begin{eqnarray*} E|X|<\infty \end{eqnarray*}$ , genügen - aber mehr vorausgesetzt zu haben, schadet ja nicht. Augenzwinkern

16.02.2013, 00:03

Duude

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Danke erstmal für die Antwort - ja ich hatte mich verschrieben und meinte
$\begin{eqnarray*} E(a \cdot X + b) = a \cdot E(X) + b \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

$\begin{eqnarray*} X \in L^2 \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass das zweite Moment dieser Zufallsgröße existiert, d.h. $\begin{eqnarray*} E(X^2)<\infty \end{eqnarray*}$ .

Was ist denn das zweite Moment der Zufallsgröße? Das zweite zentrale Moment ist ja die Varianz, das erste Moment der Erwartungswert... (dieser existiert, da das zweite Moment existiert und damit auch das erste - was in der Voraussetzung stand)

Und was bedeutet es, dass dieses zweite Moment existiert? Heißt das konkret, dass ich zweimal integrieren darf? Über die Integration (die ich einmal anwende) komme ich ja wiederum auf den Erwartungswert..

Und klar, mehr voraussetzen darf man immer...

16.02.2013, 01:03

HAL 9000

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Warum wohl habe ich

Zitat:

d.h. $\begin{eqnarray*} E(X^2)<\infty \end{eqnarray*}$ .

geschrieben? Damit Nachfragen wie

Zitat:

Original von Duude
Was ist denn das zweite Moment der Zufallsgröße? [...] Und was bedeutet es, dass dieses zweite Moment existiert?

nicht mehr nötig sind. Forum Kloppe

Also nochmal ausführlichst: Das zweite Moment ist $\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ , und die Formulierung "es existiert" ist synonym dafür, dass es endlich ist, also eben jenes $\begin{eqnarray*} E(X^2)<\infty \end{eqnarray*}$

P.S.: "D.h." steht für "das heißt", und genau so war es hier gemeint!

22.02.2013, 20:32

Duude

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ok, jetzt hab ichs verstanden.. hat ein wenig gedauert, aber ich war mit Momenten einfach noch nicht wirklich vertraut.

Danke für die Hilfe

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