Quotient aufeinanderfolgender Folgeglieder und n-te Wurzel

15.02.2013, 17:09

saloko

Quotient aufeinanderfolgender Folgeglieder und n-te Wurzel

Meine Frage:
Hallo,

folgende Aufgabe:

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =L>0 \end{eqnarray*}$
Und a_n ist größer Null für alle n Element N

So, ich soll jetzt beweisen, dass die n-te Wurzel aus a_n gegen L konvergiert.

Meine Ideen:
Ich hätte nun gerne einen Tipp wie man es am besten macht. Zuerst habe ich es mit sturem umformen versucht und bin gescheitert. Jetzt versuche ich es, indem ich die Iterationsschleife für die k-te Wurzel ausprobiere. Allerdings kommt dabei auch nicht wirklich was rum unglücklich

15.02.2013, 17:54

JdPL

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Du weißt
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists N\in \mathbb N :\forall n>N: |{a_{n+1} \over a_{n} } - L| < \epsilon \end{eqnarray*}$

also (ab jetzt n hinreichend groß vorausgesetzt):
$\begin{eqnarray*} L - \epsilon < {a_{n+1} \over a_{n} } < L + \epsilon \end{eqnarray*}$

was du jetzt brauchst, ist die Größenordnung von $\begin{eqnarray*} {a_{n+m} \over a_{n} } \end{eqnarray*}$

15.02.2013, 18:11

saloko

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Hallo und schonmal Danke!
Leider kann ich bis jetzt noch nicht so viel damit anfangen, in welche Richtung geht das ganze?
Die Größenordung würde ich im moment so einstufen (leider kann ich es nicht beweisen):

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+m} }{a_{n}} =L*L^{m} \end{eqnarray*}$

15.02.2013, 18:21

JdPL

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Die Idee ist: $\begin{eqnarray*} {a_{n+m} \over a_{n}} = {a_{n+1} \over a_{n}} * {a_{n+2} \over a_{n+1}} * ... * {a_{n+m} \over a_{n+(m-1)}} \end{eqnarray*}$

mit n hinreichend groß, kann man jeden der Faktoren abschätzen.

Die Idee ist, dass man für alle epsilon>0 ein M findet sodass für m>M:
$\begin{eqnarray*} (L-\epsilon )^m * const_\epsilon < a_{m} < (L+\epsilon )^m * const_\epsilon \end{eqnarray*}$

15.02.2013, 18:48

saloko

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Zitat:

Original von JdPL
Die Idee ist: $\begin{eqnarray*} {a_{n+m} \over a_{n}} = {a_{n+1} \over a_{n}} * {a_{n+2} \over a_{n+1}} * ... * {a_{n+m} \over a_{n+(m-1)}} \end{eqnarray*}$

mit n hinreichend groß, kann man jeden der Faktoren abschätzen.

Die Idee ist, dass man für alle epsilon>0 ein M findet sodass für m>M:
$\begin{eqnarray*} (L-\epsilon )^m * const_\epsilon < a_{m} < (L+\epsilon )^m * const_\epsilon \end{eqnarray*}$

Ok, ich muss jetzt mal Revue passieren lassen. Du potenziert jetzt mal mit m. Da die Folgeglieder sich ab einem gewissen n ja nicht mehr ändern, ist das von dir aufgestellte Produkt richtig gesetzt?
Nun wird damit a_n zu $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+m} }{a_{n} } \end{eqnarray*}$

Dann mutlipliziert du alles mit a_n? Sehe ich das bis hierher richtig? Und müsste es nicht heißen $\begin{eqnarray*} (L-\epsilon)^{m}<a_{n+m}<(L+\epsilon)^{m} \end{eqnarray*}$
Vielen Dank für deine Hilfe!

15.02.2013, 18:58

JdPL

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Also mein Produkt in der ersten Zeile auf der rechten Seite ist im wesentlichen die linke Seite sehr oft erweitert.

In deiner untersten Zeile fehlt noch die Konstante a_n (die von epsilon Abhängig ist), und bei mir sind die konstanten links und rechts leider nicht identisch. Ich habe links a_n mit (L-e)^n*const substituiert.

Im Wesentlichen ist die Idee dahinter, dass die Konstanten keine Rolle spielen, da die m-te Wurzel einer Konstante gegen 1 konvergiert.

Die Folgeglieder ändern sich zwar ab n noch (sogar ziemlich stark), aber die Quotienten haben nur geringe Schwankungen. Ansonsten hast du mich richtig verstanden.

15.02.2013, 19:08

saloko

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[quote]Original von JdPL
Also mein Produkt in der ersten Zeile auf der rechten Seite ist im wesentlichen die linke Seite sehr oft erweitert.

In deiner untersten Zeile fehlt noch die Konstante a_n (die von epsilon Abhängig ist), und bei mir sind die konstanten links und rechts leider nicht identisch. Ich habe links a_n mit (L-e)^n*const substituiert.

Im Wesentlichen ist die Idee dahinter, dass die Konstanten keine Rolle spielen, da die m-te Wurzel einer Konstante gegen 1 konvergiert.

Die Folgeglieder ändern sich zwar ab n noch (sogar ziemlich stark), aber die Quotienten haben nur geringe Schwankungen. Ansonsten hast du mich richtig verstanden.[/quote

Ok, Danke! Noch eine Frage, wüsstest du noch einen anderen (evtl. leichteren Weg)
Die Aufgabe war bei uns eine Übungsaufgabe in der 3. Woche im Studium und wir hatten gerade die n-ten Wurzeln. Die Aufgabe brachte verhältnismäßige sehr sehr wenig Punkte. Deshalb wundert mich das etwas, weil auf diesen Trick muss man erstmal kommen...

15.02.2013, 19:22

JdPL

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Eigentlich müsste ich nur Sachen verwendet haben, die ihr zu dem Zeitpunkt bereits wusstet.
Mit einer leichteren Lösung kann ich leider nicht dienen. Ich weiß zwar, dass meine Lösungen oft von den "einfachen" Standardlösungen abweichen, aber die Lösungen die ich hier schreibe sind normalerweise die, die für mich am einfachsten sind.
In dieser Aufgabe fällt mir ehrlich gesagt auch kein sinnvoller anderer Ansatz ein, da der Anfang dieser Folge ja sehr chaotisch aussehen kann.

15.02.2013, 19:50

saloko

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Naja, der Lösungsweg ist aufjedenfall nicht schlecht! Eine Sache verstehe ich nur noch nicht ganz. Du sagst dann a_n ist eine Konstante die von Epsilon abhängt, das ist schon richtig, aber kann es nicht sein das a_n gar nicht konstant ist?
Vielleicht konvergiert a_n ja gegen unendlich!

15.02.2013, 19:55

JdPL

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Der Trick ist, sich a_n konstant zu machen, indem man das n festsetzt.

Man braucht nur, dass n>N ist. (N ist in meinem ersten Post definiert) Danach reicht es, nur noch m gegen unendlich laufen zu lassen.

Und a_n konvergiert (für n gegen unendlich) auf jeden Fall gegen unendlich, falls L>1.

15.02.2013, 20:00

saloko

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Zitat:

Original von JdPL
Der Trick ist, sich a_n konstant zu machen, indem man das n festsetzt.

Man braucht nur, dass n>N ist. (N ist in meinem ersten Post definiert) Danach reicht es, nur noch m gegen unendlich laufen zu lassen.

Und a_n konvergiert (für n gegen unendlich) auf jeden Fall gegen unendlich, falls L>1.

Ah gut, dann klappt das natürlich! Wie bringe ich das formal aufs Papier, dass ich plötzlich m gegen unendlich laufen lasse, bzw. das dies nichts ändert? (Sorry, bin noch im ersten Semester :/

15.02.2013, 20:16

JdPL

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Da das Semester fast vorbei ist, gehe ich davon aus, dass du bereits einige Beweise formal aufgeschrieben hast. Deshalb würde ich vorschlagen, dass du es versuchst und falls Dinge unklar bleiben, versuche ich an den entsprechenden Stellen zu helfen. Augenzwinkern

PS.: Du verwendest sehr viele Zitate. In diesem Forum wird davon ausgegangen, dass man sich auf die Sachen bezieht, die vorher in diesem Thread standen und Zitate eher die Lesbarkeit eines Threads stören. Eigenheiten dieses Forums sind im Boardprinzip zusammengefasst.

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