Verschoben! Repräsentantensystem einer Äquivalenzrelation

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Pingu91 Auf diesen Beitrag antworten »
Repräsentantensystem einer Äquivalenzrelation
Hi,
ich habe eine Aufgabe, wo ich nicht mehr weiter komme...
"Betrachte die folgende Relation auf R²:
(x1,x2)~(y1,y2)<=> es gibt mind 1Element a aus R\{0} mit (y1,y2)=(ax1,ax2).
Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist und gib ein Repräsentantensystem an."

Dass es eine Ä-relation ist, habe ich durch die drei Eigenschaften reflexiv, symmetrisch und transitiv gezeigt.
Bei der zweiten Frage komme ich aber absolut nicht voran, da ich noch nicht mal einen Ansatz habe, wie man zur Lösung kommen soll.
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Repräsentantensystem einer Äquivalenzrelation
Betrachte die beiden Fälle und .

Für sei o.B.d.A. .

Im ersteren Fall kannst du je nach Wahl von zwei unterschiedliche Äquiv.-klassen erzeugen. Im zweiten Fall so viele, wie es reelle Zahlen gibt.
Pingu91 Auf diesen Beitrag antworten »

wieso ist das denn bei x1 ungleich 0 gleich 1?

und was haben ä-klassen damit zu tun? [Ich stehe gerade vollkommen auf'm Schlauch.]
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »

Wir möchten ein Repräsentantensystem angeben, also , sodass es in jeder Äquivalenzklasse genau einen Repräsentanten aus gibt.

Dazu betrachten wir mal eine beliebige Ä.-klasse mit dem Repräsentanten .

Falls nun ist, heißt es zwar noch nicht automatisch, dass gilt. Aber du kannst dafür einen anderen Repräsentanten finden, der sich in der selben Äquivalenzklasse befindet und in dem gilt (Setze einfach mit einem passendem ).

Darum schreibe ich ja o.B.d.A. .

Die Äquivalenzklasse hängt natürlich nicht nur von ab, sondern auch von . Denn z.B. und definieren nicht die selbe Äquivalenzklasse.


PS: Vergiss nicht, den Fall extra zu betrachten.
Dörteee18 Auf diesen Beitrag antworten »

Welche beiden Äquivalenzklassen gelten denn für x1=0 ?

Weil wenn x1 = 0 und r element der reelen Zahlen ist, dann sind doch auch wieder beliebig viele x2 vorhanden ? Oder verrenn ich mich da gerade ?
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du leicht einsehen wirst, kommen ja z.B. , , alle aus der selben Aquivalenzklasse. Aber was ist mit ? Gehört's auch dazu oder ist's in einer eigenen Äquivalenzlasse enthalten? Überleg mal.
 
 
maj.lie09 Auf diesen Beitrag antworten »

Also gibt es im ersten Fall x1=0 die 2 Äquivalenzklassen mit x2=0 und x2 ungleich 0?
Und im zweiten Fall x1 ungleich 0, bzw. o.B.d.A. x1=1 gibt es dann so viele Ä-klassen, wie es reele Zahlen gibt: (1,1),(1,2),(1,3)...

Wie ich daraus jetzt ein Rep.-system bilde und was das ist, verstehe ich allerdings noch nicht so wirklich verwirrt
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Erklärung, was ein Repräsentantensystem ist:

Sei die Menge aller Schüler einer Schule mit Schulklassen .

Wir überlegen uns folgende Äquivalenzrelation:

" geht in die selbe Klasse wie " .

Offenbar sind dann ja die Äquivalenzklassen gerade die Schulklassen (Schüler sind genau dann äquivalent, wenn sie dieselbe Schulklasse besuchen).

Nun zum Repräsentantensystem:

Wir wollen zu jeder Äqivalenzklasse genau einen Repräsentanten finden (diese bilden dann ein Repräsentantensystem).

Gehen wir nun davon aus, dass jede Schulklasse genau einen Klassensprecher hat.

Dann ist die Menge ein Repräsentantensystem. Denn sie enthält aus jeder Äquivalenzklasse(Schulklasse) genau einen Repräsentanten (nämlich ihren Klasensprecher).

Ich hoffe, das hilft weiter.
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht noch zu ergänzen:

Ein Schüler ist nicht erst Repräsentant, sobald er Klassensprecher wird.
Jeder Schüler der Schule ist Repräntant seiner Klasse.

Entscheidend ist, dass in einem Repräsentantensystem aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Repräsentant auftaucht und nicht mehrere.

Das können in meinem Beispiel die Klassensprecher sein, aber genauso könnte ich z.B. jeweils den Klassenältesten oder -jüngsten, oder Klassengrößten oder -kleinsten nehmen.

Entscheidend ist, dass wir aus jeder Klasse genau einen bekommen.
maj.lie09 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Erklärung versteh ich sehr gut.
Leider kann ich sie absolut nicht auf unsere Aufgabe anwende.
Also, wir betrachten für unser Repräsentantensystem jetzt nur die beliebige Äquivalenzklasse [(x1,x2)]~ mit den Repräsentanten (x1,x2).
Da unterscheiden wir noch zwischen x1=0 und x1 ungleich 0, bzw. o.B.d.A. x1=1.
Für x1=0 kann ich zwei Ä.-klassen bilden, nämlich x2=0 und x2 ungleich 0.
Für x1=1 gibt es so viele Ä.-klassen, wie reele Zahlen.
Für ein Rep.-system brauche ich aus jeder Ä.-klasse einen Vertreter, heißt das jetzt, dass V={0,1} .. verwirrt weiter komme ich einfach nicht. So ganz kriege ichs einfach nicht auf die Reihe!
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »

Na wenn wir für den Fall doch schon nur die Vertreter mit heranziehen, haben wir doch schon genau einen Vertreter immer.

Denn jedes Element wird ja durch einen ganz bestimmten Vertreter seiner Äquivalenzklasse vertreten, nämlich durch . Dieser ist dann der "Klassensprecher".

So, jetzt noch der andere Fall .
maj.lie09 Auf diesen Beitrag antworten »

Für x1=0 haben wir dann (0,0) und (0,? jede beliebige reelle Zahl)?
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »

Ja fast. Letztere Komponente ist fast völlig beliebig. Nur ungleich null muss sie halt sein. Leuchtet ein, oder?
maj.lie09 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das stimmt!
also ist V={(1, x1/x2), (0,0), (0,x2€|R ungleich 0)} ?
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm, z.B.



wäre eins.
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »

So hat jede Äquivalenzklasse seinen "Klassensprecher" (sprich Repräsentanten) in .
maj.lie09 Auf diesen Beitrag antworten »

Also jetzt steh ich total auf dem Schlauch.
Was ist z.B. mit (0,2), (0,3) usw.? Die gehören doch auch dazu?
Wie bilde ich denn so ein Repräsentantensystem genau? verwirrt
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »

Die brauchst du nicht. Die sind schon in der gleichen Äquivalenzklasse wie .

Du erhälst und , indem du mit , bzw. multiplizierst.
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »

Wir brauchen immer nur einen "Klassensprecher".
maj.lie09 Auf diesen Beitrag antworten »

Achsoooooo!

Also noch einmal zum Mitschreiben für die Langsameren unter uns Big Laugh

Meine Aufgabe lautete wie folgt

Wir betrachten auf R2 die Relation
(x1, x2) ~ (y1, y2) :<=> "es gibt ein" r € |R² mit (y1, y2) = (rx1, rx2)

b) Geben Sie hierfür ein Repräsentantensystem an.

Lösung zu b)
Wir betrachten eine beliebige Äquivalenzklasse [(x1,x2)]~ mit den Repräsentanten (x1,x2)
Um ein Rep.-system V anzugeben, betrachten wir die beiden Fälle x1=0 und x1 ungleich 0. Für x1 ungleich 0 sei o.B.d.A. x1=1.
Für x1=0 kann ich zwei Ä.-klassen bilden, nämlich x2=0 und x2 ungleich 0.
Für x1=1 gibt es so viele Ä.-klassen, wie reele Zahlen.
Ein mögliches Repräsentantensystem ist demnach:
V={(1,x)|x€R} U {(0,0),(0,1)},
da jede Ä.-klasse so einen Vertreter in V hat.

?
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe nur, das "o.B.d.A. x1=1" verstanden, und warum wir so viele Ä.-klassen wie reele Zahlen haben.

Die Fälle lauten im übrigen und (nicht , das ist nur beim Repräsentanten. Wir betrachten die ganze Ä.-klasse.)
maj.lie09 Auf diesen Beitrag antworten »

o.B.d.A heißt 'ohne Beschränkung der Allgemeinheit', also wir setzen x=1 quasi einfach zur Vereinfachung ein, oder?
Ja, aber ich habe dann doch für x1 ungleich 0 vereinfacht x1=1 eingesetzt?
Ist die Formulierung denn so ok?
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, es war von mir ursprünglisch mal als Gedankenstütze gedacht, weil man durch Multiplikation ja immer zu kommen kann, die Äquivalenzklasse aber die Gleiche bleibt.
Das führt unmittelbar zur Idee, wie man ein Repräsentantensystem konstruiert. Die Elemente mit sind nämlich gerade die "Klassensprecher" für alle mit .

Das so aufzuschreiben, würde ich etwas kritisch sehen. Besser ist es, du schreibst, dass es deinen Repräsentanten sind und warum.
maj.lie09 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir betrachten eine beliebige Äquivalenzklasse [(x1,x2)]~ mit dem Repräsentanten (x1,x2)
Um ein Rep.-system V anzugeben, betrachten wir das Element x1 unseres Repräsentanten. Dabei unterscheiden wir die Fälle x1=0 und x1 ungleich 0.
Für x1 ungleich 0 sei o.B.d.A. x1=1.

Für x1=0 kann ich zwei Ä.-klassen bilden, nämlich x2=0 und x2 ungleich 0.
Für x1=1 gibt es so viele Ä.-klassen, wie reele Zahlen.
Ein mögliches Repräsentantensystem ist demnach:
V={(1,x)|x€R} U {(0,0),(0,1)},
da jede Ä.-klasse so einen Vertreter in V hat.

So besser?
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