Alternierende Gruppen und semidirektes Produkt

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nore Auf diesen Beitrag antworten »
Alternierende Gruppen und semidirektes Produkt
Hi,

folgende Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für kein Normalteiler von ist und schließen Sie daraus, dass nur für gilt.
( seien hier die mit )


Der erste Teil ist mir bereits gelungen. Dass für gilt, ist auch schnell gezeigt. Nun fehlt noch, dass für nicht als semidirektes Produkt von und geschrieben werden kann.


Angenommen, , dann hat einen zu isomorphen Normalteiler (nämlich ). Laut Internet ist ja sogar einfach und damit wäre hier schon der Widerspruch. Wie man Einfachheit von zeigt, weiß ich aber nicht.

Wie mache ich also weiter? Kann ich irgendeine Aussage treffen, wie viele Untergruppen der Ordnung es in gibt und vielleicht zeigen, dass diese alle keine Normalteiler sind?
Oder kann ich einfach aufgrund der Isomorphie der beiden Untergruppen darauf schließen, dass entweder eine oder keine von beiden ein Normalteiler ist? Aber sie müssen ja nicht zwangsweise gleich in eingebettet sein. Oder gibt es da vielleicht einen Satz, der die Anzahl der Einbettungen beschreibt?

Über jede Hilfe bin ich sehr dankbar.

Viele Grüße
David
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alternierende Gruppen und semidirektes Produkt
Hallo David,

Was die Isomorphie der beiden Untergruppen bringen soll, sehe ich gerade auch nicht. Insbesondere, da es z.B. in der zwei verschiedene Typen der gibt: die kanonische und dann noch

Allerdings kann man recht leicht sehen, dass in einem zu isomorphen Normalteiler von auch alle n-Zyklen enthalten sein müssen und das kann man zu einem Widerspruch führen.

Gruß
Reksilat
nore Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Reksilat,

danke für die Antwort.

Aber sind überhaupt alle n-Zykel in ? Ist nicht zum Beispiel ?

Viele Grüße
David
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von nore




was meinst du damit? Welche Permutation soll überhaupt sein?

Edit: Jetzt seh ich: du führst die drei Transpositionen hintereinander aus. Vielleicht hättest du besser geschrieben.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

@nore: stimmt natürlich. Hammer
Aber für ungerades geht's und für gerades nimmst Du einen -Zyklus. Augenzwinkern

Gruß
Reksilat
nore Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.

Wieso müssen die in der zu isomorphen Untergruppe von enthalten sein, wenn sie ein Normalteiler ist?
Weder die Isomorphie zu noch die Normalteilereigenschaft alleine bedingen das.

Vielleicht weiß ich an der Stelle zu wenig über Symmetrische und Alternierende Gruppen?


Gruß
David
 
 
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist allein eine Ordnungssache. Ein n-Zyklus hat Ordnung n. Nun betrachte mal die Ordnung eines solchen Elements in der Faktorgruppe mit
nore Auf diesen Beitrag antworten »

hat Ordnung , das heißt die Ordnung seiner Elemente muss teilen. Sei ein -Zykel, . Dann muss , aber .

Also muss jeder -Zykel in liegen.

Sei gerade. Mit -Zykeln erhält man, dass und weil Untergruppe und gerade ist, auch und an der Stelle geht es weiter wie oben.

Laut Wikipedia gibt es -Zykel in , während nur -Zykel enthält.

Nun müssen zwischen und vielleicht nicht alle -Zykel auf -Zykel abgebildet werden. Aber irgendwie sieht es doch aus, als wäre ich auf dem richtigen Weg.

Vielleicht gibt es in weniger Elemente mit Ordnung ?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

In der Tat müssen n-Zykel nicht wieder auf n-Zykel abgebildet werden.

Allerdings kannst Du das Resultat der Wikipedia ja auch schnell selbst überprüfen (reine Kombinatorik)
Zitat:
Laut Wikipedia gibt es -Zykel in

und dann vergleiche mal die Anzahl der Elemente in N mit der Anzahl der n-Zyklen. Augenzwinkern
nore Auf diesen Beitrag antworten »

Ah jetzt macht es klick. hat nur Elemente und das ist weniger als und immer noch weniger als .


Wow, das war eine schwierige Geburt. Vielen Dank für deine Hilfe. :-)

Aber wie ich selbst auf diesen Weg hätte kommen sollen, weiß ich ehrlich gesagt nicht.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich weiß leider noch immer nicht, wie man die Behauptung unter Verwendung der ersten Teilaufgabe () zeigen kann.
Schließlich steht da ja: "und schließen Sie daraus, dass..."
verwirrt

Ich finde den jetzt jetzigen Beweis aber elementar genug, dass man sich darüber nicht so viele Gedanken machen muss. smile

Gruß
Reksilat
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