Injektivität und Surjektivität

16.02.2013, 19:34	Nspace	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität und Surjektivität Wir haben folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} f: Z \rightarrow Z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lfloor\frac{n + 3}{2}\rfloor \end{eqnarray}$ Und sollen prüfen, ob sie injektiv und/oder surjektiv ist. Für injektiv ist (meiner Meinung nach) der Beweis wie folgt: Beh.: f ist nicht injektiv Bew.: f(3) = 3 = f(4) Nun aber surjektivität. Ich bin mir sicher, dass diese Funktion surjektiv ist, nur, wie zeige ich das? Eine fixe Idee wäre so etwas: Beh.: f ist surjektiv Bew.: Es sei n, y element von Z mit n = 2y - 3 und y sei beliebig. => $\begin{eqnarray} f(n) = \lfloor\frac{n + 3}{2}\rfloor \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lfloor\frac{2y - 3 + 3}{2}\rfloor \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lfloor\frac{2y}{2}\rfloor \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lfloor y \rfloor \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = y \end{eqnarray}$ Aber geht das wirklich bzw. reicht das so aus?
16.02.2013, 19:51	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Satz "Bew.: Es sei n, y element von Z mit n = 2y - 3 und y sei beliebig." sieht merkwürdig aus. Es wäre besser erst y in Z beliebig auszusuchen und erst dann n zu definieren. Aber ansonsten passt alles.
16.02.2013, 20:49	Nspace	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: Es sei n, y Element Z wobei y beliebig ist und $\begin{eqnarray} n = 2y - 3 \end{eqnarray}$ ist. Oder falsch verstanden? Ich hätte da noch einige Aufgaben, wobei bis auf eine alle geklappt haben. Da wäre es aber super, wenn ihr nochmal einen Blick darauf werfen könntet, ob ich nichts falsch gemacht habe und meine Formalität stimmt. Die Aufgabe die ich nicht geschafft habe ist die folgende: $\begin{eqnarray} <br /> g: N \rightarrow Z<br /> g(x) = (x + 2)^2<br /> \end{eqnarray}$ Ich bin mir zwar sicher wegen dem Urbildraum N, dass diese Funktion injektiv sein müsste, aber ich weiß nicht wie ich das nachweisen sollte... Die Funktionen die zwar geklappt haben, wo ich aber gerne nochmal euer fachliches Auge drauf hätte, wären die folgenden: Injektivität: 1: $\begin{eqnarray} f: Z^2 \rightarrow Z^3<br /> h(a, b) = (ab, (a+ 1)b, a(b^2 + 1)) \end{eqnarray}$ Beh.: h ist injektiv Bew.: Angenommen h wäre nicht injektiv. Dann gäbe es $\begin{eqnarray} (a, b), (x, y) \end{eqnarray}$ Element von $\begin{eqnarray} Z^2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (a, b) \neq (x, y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h(a, b) = h(x, y) \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} I: ab = xy<br /> II: (a + 1)b = (x + 1)y <br /> = ab + b = xy + y<br /> III: a(b^2 + 1) = x * (y^2 + 1)<br /> <br /> II - I: b = y \end{eqnarray}$ in III: $\begin{eqnarray} a(y^2 + 1) = x (y^2 + 1) \| : (y^2 + 1) \end{eqnarray}$ in Annahme, dass $\begin{eqnarray} (y^2 + 1) \end{eqnarray}$ nicht 0 ist natürlich.* $\begin{eqnarray} a = x \end{eqnarray}$ und somit auch $\begin{eqnarray} (a, b) = (x, y) \end{eqnarray}$ im Widerspruch zu $\begin{eqnarray} (a, b) \neq (x, y) \end{eqnarray}$ Surjektivität: 1: $\begin{eqnarray} f: Z \rightarrow Z<br /> f(x) = 3x + 1 \end{eqnarray}$ Beh.: f ist nicht surjektiv Bew.: Angenommen f wäre surjektiv, dann gäbe es ein x, y Element Z mit $\begin{eqnarray} f(x) = y \end{eqnarray}$ Wir wählen $\begin{eqnarray} y = 3 \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} 3x + 1 = 3 \| -1<br /> 3x = 2 \| :3<br /> x = \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ Widerspruch zu: x Element Z 2: $\begin{eqnarray} f: Z^2 \rightarrow Z<br /> f(a, b) = a + b \end{eqnarray}$ Beh.: f ist surjektiv Bew.: Es sei a, b, y Element von Z mit $\begin{eqnarray} a = y - b \end{eqnarray}$ Einsetzen ergibt: $\begin{eqnarray} y - b + b = y \end{eqnarray}$ 3: $\begin{eqnarray} g: Z \rightarrow Z<br /> g(x) = \lfloor \frac{x + 1}{2} \rfloor \end{eqnarray}$ Beh.: g ist surjektiv Bew.: Es sei x, y Element Z. y sei beliebig und $\begin{eqnarray} x = 2y - 1 \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} g(x) = \lfloor \frac{x + 1}{2} \rfloor<br /> = \lfloor \frac{2y - 1 + 1}{2} \rfloor<br /> = \lfloor \frac{2y}{2} \rfloor<br /> = \lfloor y \rfloor<br /> = y \end{eqnarray}$ 4: $\begin{eqnarray} h: Z^2 \rightarrow Z^3<br /> h(a, b) = (2a + 3b, a^2, (b - 1)^2 a)<br /> = (2a + 3b, , )<br /> y = 2a + 3b \end{eqnarray}$ nach a umstellen: $\begin{eqnarray} a = \frac{y - 3b}{2} \end{eqnarray}$ Wieder einsetzen: $\begin{eqnarray} 2 * \frac{y - 3b}{2} + 3b<br /> y - 3b + 3b = y \end{eqnarray*}$
16.02.2013, 21:15	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne TeX sieht das immer noch merkwürdig aus. Jetzt ist es aber besser, obwohl ich Sei $\begin{eqnarray} y \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ beliebig, n:=2y-3 bevorzugen würde, allerdings habe ich im vergangenen Semester gelernt, dass selbst Fachleute unterschiedliche Meinungen über mathematische Ästhetik haben^^. Injektivität von g: Sei g(x)=g(y) dann gilt (x+2)²=(y+2)² dann gilt abs(x+2) = abs(y+2) Ausserdem gilt, dass x,y>0, also folgt x+2=y+2 Damit folgt die Injektivität. Zur Injektivität von h: (statt "In Annahme, dass (y²+1) nicht 0 ist natürlich", sollte dort besser festgestellt werden, dass y²+1 nie 0 sein kann.) Zur Surjektivität von 1. f statt: "Angenommen f wäre surjektiv, dann gäbe es ein x, y Element Z mit f(x)=y" sollte besser festgestellt werden, dass es für alle y in Z ein x in Z gibt mit f(x)=y noch besser allerdings wäre hier: "Angenommen f wäre surjektiv, dann gäbe es ein x in Z mit f(x)=3" 2 und 3 sind im Prinzip richtig (ich habe oben schon geschrieben, was mir daran nicht gefällt^^) Bei 4 erkenne ich gerade nicht, was du genau tust, allerdings sollte die nicht-surjektivität wegen (,a²,) klar sein.
16.02.2013, 21:24	Nspace	Auf diesen Beitrag antworten »
Autsch, du hast natürlich recht mit $\begin{eqnarray} a^2 \end{eqnarray}$ . Es sollte dann wohl lauten: Beh.: h ist nicht surjektiv Bew.: Angenommen h wäre surjektiv, dann gäbe es a, b Element Z mit $\begin{eqnarray} h(a, b) = (, 2, ) \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} (, a^2, ) = (, 2, )<br /> a^2 = 2 \| \sqrt{}<br /> a = \sqrt{2} \end{eqnarray}$ Widerspruch zu: a Element von Z. Danke, dass du dir die Zeit genommen hast, meine Beweise durchzusehen.

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