Exponentialfunktion - Abkühlung |
| 18.02.2007, 19:15 | trendyandyhund | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Exponentialfunktion - Abkühlung Bei folgender Aufgabe habe ich ein Problem: Die Temperatur T(t) einer Flüssigkeit wird beschrieben durch die Gleichung: T(t)=a+b*e^(-0,050*t) (t in Minuten, T(t) in °C, a,b\el\ Z). Zwei Minuten nach Beginn der Beobachtung beträgt die Temperatur 80°C, fünf Minuten später sind es noch 70°C. Bestimmen Sie T(t). Wie hoch war die Anfangstemperatur, welche Temperatur wird langfristig erwartet? Dafür habe ich: 1. T(2)= a+b*e^(-0.050*2)=80 => a=80-b*e^(-0.050*2) T(5)= 80-b*e^(-0.050*2)+b*e^(-0.050*5)=70 => b=79.342 ... => a=8.2083 ... 2. T(0)=87,55 °C 3. lim(t->\inf,=8.2083 4. Mittlere Temperatur T_m=sum(8.2083+79.342*e^(-0.050*k)=,k=15,20)=41.4036 °C 5. Hier habe ich keine Ahnung wie ich das lösen soll? Ab welchen Zeitpunkt nimmt die Temperatur der Flüssigkeit um weniger als 0,5°C pro Minute ab? Könnt ihr mir vielleicht helfen? Vielen Dank schonmal dafür :-) |
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| 18.02.2007, 19:38 | Zahlenschubser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Exponentialfunktion - Abkühlung Hallo! Sollen wirklich sein? Denn die Einschränkung auf ganze Zahlen scheint nicht sonderlich zielführend zu sein, wenn du dein Gleichungssystem eindeutig lösen willst... Davon abgesehen interpretiere ich "fünf Minuten später" als ,womit , , und . Es ist auch . Und dies ist die Veränderung der Temperatur in Abhängigkeit von der Zeit. Und wann wird dies kleiner als 0,5 Grad? |
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| 18.02.2007, 19:40 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi! zu 5. Die Änderungsrate wird durch die 1. Ableitung der Funktion beschrieben! mY+ |
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| 18.02.2007, 20:02 | trendyandyhund | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Exponentialfunktion - Abkühlung Hallo! Oh, achso, danke für die Korrektur, dass t=7 Minuten sein muss. Aber wenn ich z.B. für t=30 in die Ableitung einsetze, ist das Ergebnis immer negativ. Muss ich die Ableitung dann in Betragstriche setzen?. Wie kann ich das denn bestimmen, dass t>0,5 Grad sein muss? Gruß André |
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| 18.02.2007, 20:07 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diie Änderungsrate muss ja negativ sein, weil es sich um eine Temperaturabnahme handelt. Deshalb musst du die Rate auch -0,5 setzen. mY+ |
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| 18.02.2007, 20:41 | trendyandyhund | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, das habe ich verstanden. Dankeschön. Ab 32 Minuten Beobachtungszeit nimmt die Temperatur der Flüssigkeit um weniger als 0,5°C pro Minute ab. |
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| 18.02.2007, 22:48 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bingo! 
mY+ |
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| 19.02.2007, 12:39 | Primzahl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Exponentialfunktion - Abkühlung
Wie kommt man auf die 1. Ableitung? Wir reden hier doch vom beschränkten Zerfall oder? Ist das nicht die "normale" Ableitung der exponentiellen Abnahme? 
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| 19.02.2007, 13:11 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das, wovon wir reden, ist die in der Angabe gegebene Funktion Und deren Ableitung ist nun mal Weil a eine Konstante ist, sieht dann die Ableitung so aus wie die einer exponentiellen Abnahme, welche ja in Wirklichkeit - trotz Schranke - ja nach wie vor vorliegt. mY+ |
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| 19.02.2007, 15:23 | Primzahl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
achso habs jetzt verstanden dachte nur, weil die ableitung allgemein ja so aussieht: eingesetzt wäre das in diesem fall ja: , was ja nichts anderes als ist. 
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| 21.02.2007, 13:35 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sh. http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/...php?topic=74995
mY+ |
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