Konvergenz?

17.02.2013, 14:46

Spacy

Konvergenz?

Meine Frage:
Welche der folgenden Reihen konvergieren?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{1+k+k^{\frac{5}{2} }} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich hier vor?

Meine Ideen:
keine

17.02.2013, 15:10

Che Netzer

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RE: Konvergenz?
Hast du denn eine Vermutung (ohne Beweis), ob die Reihe divergiert oder konvergiert?

17.02.2013, 15:19

Spacy

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Geht sie gegen 1 ?

17.02.2013, 15:21

Che Netzer

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Nein, tut sie nicht. Woher kam denn die Vermutung?

17.02.2013, 15:25

Spacy

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Ich hatte das so aufgesplittet.

Was soll ich sonst machen?

17.02.2013, 15:27

Che Netzer

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Zuerst einmal solltest du den Formeleditor benutzen, anstatt deine Formeln in Paint zu schmieren.

Zweitens musst du wohl Bruchrechnung wiederholen: $\begin{eqnarray*} \frac1{a+b}\neq\frac1a+\frac1b \end{eqnarray*}$ . Z.B. $\begin{eqnarray*} \frac12=\frac1{1+1}\neq\frac11+\frac11=1+1=2 \end{eqnarray*}$ .
Siehst du das ein?

17.02.2013, 15:28

Spacy

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Was mache ich dann genau jetzt?

17.02.2013, 15:36

Che Netzer

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Verwende das Majoranten- bzw. Minorantenkriterium und schätze $\begin{eqnarray*} \frac1{1+k+k^{\frac52}} \end{eqnarray*}$ geeignet ab.

17.02.2013, 15:38

Spacy

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Das könnte doch eine Minorante sein oder?

17.02.2013, 15:40

Che Netzer

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Wie hast du denn da deine Abschätzung begründet?

17.02.2013, 15:42

Spacy

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Ich habe einfach die divergente harmonische reihe genommen?

Reicht das als begründung?

17.02.2013, 15:44

Che Netzer

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Naja, wenn man einfach irgendeine divergente Reihe als Minorante nehmen kann, könnte man damit die Divergenz jeder beliebigen Reihe zeigen.

17.02.2013, 15:47

Spacy

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Das ist immer so schwer die minorante zu finden .

Woher soll ich denn wissen welche ich nehmen soll?

17.02.2013, 15:49

Che Netzer

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Naja, ich kann ja mal verraten, dass du viel mehr nach einer Majorante suchen solltest.
Schätze also $\begin{eqnarray*} \frac1{1+k+k^{\frac52}} \end{eqnarray*}$ nach oben durch etwas ab, dessen zugehörige Reihe konvergiert.

17.02.2013, 15:58

Spacy

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^n} \end{eqnarray*}$

Könnte ich so etwas als majorante nehmen?

17.02.2013, 15:58

Che Netzer

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Ja, genau. Jetzt musst du nur $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bestimmen.

17.02.2013, 16:00

Spacy

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Wie soll ich denn das n bestimmen?

17.02.2013, 16:01

Che Netzer

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So, dass $\begin{eqnarray*} \frac1{1+k+k^{\frac52}}\leq\frac1{k^n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty\frac1{k^n} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

17.02.2013, 16:05

Spacy

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$\begin{eqnarray*} \frac{k^n}{1+k+k^{\frac{5}{2} }} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Ist der ansatz richtig?

17.02.2013, 16:07

Che Netzer

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Wenn du damit etwas erreichen kannst, ist das natürlich praktisch.

17.02.2013, 16:11

Spacy

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$\begin{eqnarray*} k^n \leq 1+k+k^{\frac{5}{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k \leq \sqrt[n]{1+k+k^{\frac{5}{2} }} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich weiter vor?

17.02.2013, 16:13

Che Netzer

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So klappt das nicht.
Aber
$\begin{eqnarray*} k^n \leq 1+k+k^{\frac{5}{2} } \end{eqnarray*}$
sieht gar nicht mal schlecht aus. Hier ist es leicht, ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu finden, so dass die Gleichung gilt.

17.02.2013, 16:15

Spacy

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für n=1 würde die gleichung gelten oder?

17.02.2013, 16:16

Che Netzer

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Ja, aber das nützt dir nichts. (überlege dir, wieso nicht)
Hast du noch einen anderen Vorschlag für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ?

17.02.2013, 16:19

Spacy

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für n= 0 ?

17.02.2013, 16:19

Che Netzer

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Das stimmt zwar auch, nützt dir aber wieder nichts.

17.02.2013, 16:21

Spacy

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Dann kann es eigentlich nur für gegen unendlich sein oder?

17.02.2013, 16:22

Che Netzer

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Nein, mit Unendlich hat das ganze nichts zu tun.

Wie bist du denn auf Eins und Null gekommen?

17.02.2013, 16:25

Spacy

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0 und 1 schienen mir am wahrscheinlichsten.

Oder wie soll ich sonst genau denken?

17.02.2013, 16:29

Che Netzer

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Schöne Begründung... unglücklich

Vielleicht hilft es dir, wenn du beachtest, dass $\begin{eqnarray*} k+1\geq0 \end{eqnarray*}$ .

17.02.2013, 16:34

Spacy

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Also muss ich das k^n = 0 werden lassen oder wie?

17.02.2013, 16:38

Che Netzer

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Nein, wieso?

17.02.2013, 16:41

Spacy

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Oh man ehrlich gesagt habe ich gar keine idee mehr was ich machen soll.

Kannst du mir einen weiteren tipp geben?

17.02.2013, 17:32

Che Netzer

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Dann wende doch mal $\begin{eqnarray*} k+1\geq0 \end{eqnarray*}$ an, um $\begin{eqnarray*} 1+k+k^{\frac52} \end{eqnarray*}$ nach unten abzuschätzen.

17.02.2013, 17:54

Spacy

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Ich versteh im Moment überhAupt gar nicht was ich machen soll.

Und ch versteh auch gar nicht wie ich das n wählen soll.

Da muss es doch ein Schema geben oder?

17.02.2013, 17:58

Che Netzer

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Zitat:

Original von Che Netzer
Dann wende doch mal $\begin{eqnarray*} k+1\geq0 \end{eqnarray*}$ an, um $\begin{eqnarray*} 1+k+k^{\frac52} \end{eqnarray*}$ nach unten abzuschätzen.

Hier ist doch von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gar keine Rede.
Du hast eine Summe aus $\begin{eqnarray*} k+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k^{\frac52} \end{eqnarray*}$ . Einen davon kannst du nach unten durch Null abschätzen. Wodurch kannst du dann die ganze Summe nach unten abschätzen?

17.02.2013, 18:04

Spacy

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Durch 1/k+1. ist die minorante

17.02.2013, 18:06

Che Netzer

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Minorante wovon und wieso?

17.02.2013, 18:09

Spacy

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Ich versteh es auch nicht . Ich glaube wir versuchen lieber das n zu finden, weil ich bin im Moment bisschen durcheinander ?

Was mache ich jetzt?

17.02.2013, 18:11

Che Netzer

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Erstmal vergessen wir das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .
Du betrachtest erst nur $\begin{eqnarray*} (1+k)+k^{\frac52} \end{eqnarray*}$ . Du weißt, dass der eingeklammerte Term größer als Null ist. Verwende dies, um $\begin{eqnarray*} (1+k)+k^{\frac52} \end{eqnarray*}$ nach unten abzuschätzen.

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