Aufgabe: Zeige die Menge U ist ein Unterraum

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MatheErsi94 Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe: Zeige die Menge U ist ein Unterraum
Meine Frage:
Ich soll zeigen, dass die Menge U ein Unterraum von M ist. Da ich nicht weiß, wie ich das formatieren muss, habe ich die Aufgabe in den Bildanhang gepackt.

Meine Ideen:
Ich muss ja zeigen, dass der Nullvektor enthalten ist, dass geht ja noch, denn eine Nullmatrix multipliziert mit einer anderen Matrix ist gleich Null.
Als nächstes muss ich zeigen, dass wenn zwei Matrizen z.B D und E in U liegen, auch D+E in U liegt. Ich habe jedoch keine Ahnung, wie ich dabei vorgehen soll.
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe: Zeige die Menge U ist ein Unterraum
es ist nur zu zeigen, dass D+E dann wieder die geforderte eigenschaft hat. da braucht man nichts außer distributivgesetz (und eben die eigenschaften von D und E).
lg
MatheErsi94 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber welche Eigenschaften besitzen D und E? Ich weiß doch nur "AD=DB" und "AE=EB". Ich weiß ja noch nichtmal welche Dimension sie besitzen?!
Muss ich jetzt zeigen, dass "A(D+E)=(D+E)B" ist und wenn ja wie soll ich das ohne Werte machen?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich weiß doch nur "AD=DB" und "AE=EB".
genau, mehr musst/kannst du auch nicht wissen.

Zitat:
Ich weiß ja noch nichtmal welche Dimension sie besitzen?!
doch, steht doch da, die dim. ist nxn. die spielt auch keine besondere rolle. denk einfach dran, dass alle die gleichen dim. haben, sodass du die operationen (addieren, multiplizieren) alle usführen kannst.

Zitat:
Muss ich jetzt zeigen, dass "A(D+E)=(D+E)B" ist [...]
ja genau, das ist die eigenschaft, die einen vektor zu diesem unterraum gehören lässt.

Zitat:
[...] und wenn ja wie soll ich das ohne Werte machen?
was sollten dir werte dafür bringen? A, B, C, D sind doch beliebig. ich hab dir doch auch schon geschrieben was du dafür brauchst.

lg
MatheErsie94 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut also wenn das zu zeigen ist:
A(D+E)=(D+E)B

Kann ich das mit dem Distributivgesetz so umformen:
AD+AE=DB+EB
und dies ist wegen "AD=DB" und "AE=EB" eindeutig erfüllt!

Ist das so richtig?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das wäre so die argumentation. Freude
und dann nicht die existenz der inversen elemente vergessen zu zeigen.
lg
 
 
MatheErsie94 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Erläuterungen! Tanzen smile
Ist die Existenz von Inversen denn eine zwingende Eigenschaft die man für einen Unterraum beweisen muss?

So wie ich es gelernt habe, reicht es zu zeigen dass U das Nullelement beinhaltet, dass die Summe von zwei beliebigen Elementen aus U wieder in U liegt und das skalare Vielfache von Elemente aus U auch in U liegen.

Wobei ich bei der letzten Bedingung auch in Problem habe, für eine Matrix F aus U und einem a mit aus R muss a*F auch in U liegen, also muss A(a*F)=(a*F)B gelten. Ist es legitim zu sagen, dass ich durch die Assoziativität eine Gleichung mit AaF=aFB habe und diese durch a teilen kann, wodurch ich wieder AF=FB erhalte was ja in U liegt?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt, skalare vielfache musst du noch prüfen, hab irgendwie nur an gruppen gedacht.

Zitat:
Ist es legitim zu sagen, dass ich durch die Assoziativität eine Gleichung mit AaF=aFB habe und diese durch a teilen kann, wodurch ich wieder AF=FB erhalte was ja in U liegt?
das hat nichts mit assoziativität zu tun. aber du benutzt einfach die eigenschaft der matrixmultiplikation, dass für skalare k immer gilt: A*(kB) = k(A*B) = (kA)*B.
dann kannst du das einfach direkt zeigen: A*(aF) = a(A*F) = a(F*B) = (aF)*B.

lg
MatheErsie94 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! Freude Das klingt sehr logisch! Hammer
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