Bedingte Wahrscheinlichkeit {0,1}-Münzwurf

17.02.2013, 21:57	Weihnachtsmann65	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Wahrscheinlichkeit {0,1}-Münzwurf Meine Frage: Hallo! Verstehe die folgende Gleichung auch nach langer Auseinandersetzung mit bedingten Wahrscheinlichkeiten leider trotzdem nicht: Seien X_1,..X_n unabhängige {0,1}-Münzwürfe mit Erfolgsparameter p aus (0,1). Sei K:= Summe X_i = Anzahl der Erfolge. Wir betrachten die bedingte Wahrscheinlichkeit: $\begin{eqnarray} <br /> Ws_p(\{(X_1,\ldots,X_n)=(x_1,\ldots,x_n)\}\|\{ \sum X_i=k\})<br /> =\frac{Ws_p(\{(X_1,\ldots,X_n)=(x_1,\ldots,x_n)\} \cap \{K=k\})}{Ws_p(\{K=k\}}<br /> =\frac{p^k(1-p)^{n-k}}{\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}}<br /> \end{eqnarray}$ Den Schritt von der ersten Gleichung zur zweiten verstehe ich, das ist ja gerade die Definition; der Schritt von der zweiten auf die dritten ist mir aber völlig unklar, und ich habe auch keine Ahnung, wie ich das in meinem Kopf modellieren sollte. Wie geschnittene Ereignisse beim Würfeln aussehen, verstehe ich, jedoch weiß ich nicht, wie man die Wahrscheinlichkeiten der Bernoulliereignisse schneiden könnte... Dem ersten Beispiel folgt dann auch noch: $\begin{eqnarray} <br /> \mathbb{E}[X_1\cdot X_2\|K=k]=Ws(X_1=1,X_2=1\|K=k)=\frac{k}{n}\cdot \frac{k-1}{n-1}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ hier ist mir dann jeder einzelne Schritt schleierhaft. Meine Ideen: Noch einen schönen Sonntag Abend!
18.02.2013, 10:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ereignis $\begin{eqnarray} K = \sum_{i=1}^n X_i = k \end{eqnarray}$ bedeutet, dass bei den $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Münzwürfen genau $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -mal die 1 und somit genau $\begin{eqnarray} (n-k) \end{eqnarray}$ -mal die 0 fällt. Im Nenner bei $\begin{eqnarray} Ws_p(\{K=k\}) \end{eqnarray}$ wird keine weitere Bedingung gestellt, daher muss man noch zählen, wieviele Möglichkeiten es gibt, die $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Einserwürfe aus den $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Würfen auszuwählen, das macht $\begin{eqnarray} \binom{n}{k} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten - siehe Binomialverteilung! Im Zähler liegen die Dinge anders. Da ist deine Gleichung auch nicht ganz korrekt, weil du etwas entscheidendes vergessen hast: Es gilt zunächst auf Ereignisebene $\begin{eqnarray} \{(X_1,\ldots,X_n)=(x_1,\ldots,x_n)\} \cap \{K=k\} = \begin{cases} \{(X_1,\ldots,X_n)=(x_1,\ldots,x_n)\} &\; \mbox{falls}\;x_1+\ldots,x_n=k \\ \emptyset &\; \mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ , denn nur im ersten Fall gilt $\begin{eqnarray} \{(X_1,\ldots,X_n)=(x_1,\ldots,x_n)\} \subset \{K=k\} \end{eqnarray}$ , es ist dann eine konkrete Wurffolge mit genau $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Einsen und $\begin{eqnarray} (n-k) \end{eqnarray}$ Nullen. Dementsprechend müsste es auch vollständig korrekt heißen $\begin{eqnarray} Ws\left( \{(X_1,\ldots,X_n)=(x_1,\ldots,x_n)\} \cap \{K=k\} \right) = \begin{cases} p^k(1-p)^{n-k} &\; \mbox{falls}\;x_1+\ldots,x_n=k \\ 0 &\; \mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ . ------------------------------------------- Bei der zweiten Formel musst du ebenfalls mal genau nachdenken: Es ist wie bei jedem Erwartungswert - bedingt oder nicht - einer diskreten Zufallsgröße $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} E(Z) = \sum_k z_k\cdot Ws(Z=z_k) \end{eqnarray}$ ist. Deine Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X_1\cdot X_2 \end{eqnarray}$ kann aber nur dann Werte ungleich Null annehmen, wenn beide Ausgangsfaktoren $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ ungleich Null sind, was bei 0-1-Zufallsgrößen wie hier nur bedeuten kann, dass beide gleich 1 sein müssen! Es ist daher $\begin{eqnarray} E[X_1\cdot X_2 \bigm\| K=k] = 1\cdot W_s(X_1\cdot X_2=1 \bigm\| K=k) = W_s(X_1=1,\, X_2=1 \bigm\| K=k) \end{eqnarray}$ Die weitere Rechnung nutzt die Kaskade $\begin{eqnarray} W_s(X_1=1,\, X_2=1 \bigm\| K=k) &=& \frac{W_s(X_1=1,\, X_2=1,\, K=k)}{W_s(K=k)} = \frac{W_s(X_1=1,\, K=k)}{W_s(K=k)} \cdot \frac{W_s(X_1=1,\, X_2=1,\,K=k)}{W_s(X_1=1,\,K=k)} \\ &=& W_s(X_1=1 \bigm\| K=k)\cdot W_s(X_2=1 \bigm\| X_1=1,\,K=k) \end{eqnarray}$ und anschließend $\begin{eqnarray} W_s(X_1=1 \bigm\| K=k) = \frac{k}{n} \end{eqnarray}$ weil es unter der Bedingung genau $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Einsen unter den $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Würfen $\begin{eqnarray} 1,2,\ldots,n \end{eqnarray}$ gibt. Weiter ist $\begin{eqnarray} W_s(X_2=1 \bigm\| X_1=1,\,K=k) = \frac{k-1}{n-1} \end{eqnarray}$ , weil es unter der Bedingung genau $\begin{eqnarray} k-1 \end{eqnarray}$ Einsen unter den $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ Würfen $\begin{eqnarray} 2,3,\ldots,n \end{eqnarray}$ gibt.
20.02.2013, 22:20	weihnachtsmann65	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL, vielen Dank für die ausführliche Antwort! Ich hab es ausgedruckt und schau es mir morgen an. Merci!

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