Komische Aufgabe_Stochastik

18.02.2013, 19:45

Duff-Man02

Komische Aufgabe_Stochastik

Das Auswerten von 100 Tüten ergibt einen durchschnittlichen Inhalt von 995ml. Der Hersteller verspricht einen durchschnittlichen Inhalt von 1000ml. Die Standardabweichung ist 12ml. Kann man die Behauptung des Herstellers mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 5% zurückweisen?

Ich weiß hier nicht wo ich anfangen soll.
Eventuell hat das irgendwas mit Konfidenzintervallen zu tun?

18.02.2013, 19:53

Mystic

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RE: Komische Aufgabe_Stochastik
Hm, wenn du auch nur eine blaße Ahnung von solchen Aufgaben hast, dann kannst das im Kopf rechnen: Das Stichprobenmittel ist normalverteilt mit Mittel 1000 ml und einer Standardabweichung von

$\begin{eqnarray*} \sigma = \frac {12}{\sqrt {100}} =1.2 \text{ ml} \end{eqnarray*}$

Tatsächlich ist die Abweichung vom Mittel des Herstellers aber mehr als viermal so groß... Was folgt also daraus?

18.02.2013, 20:21

Duff-Man02

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RE: Komische Aufgabe_Stochastik
Hmm. Das ist das erste Mal, dass ich vom Begriff "Stichprobenmittel" und von der in Wikipedia dazu gelisteten Formel höre.
Wie gesagt, ich weiß nicht, wie ich die Aufgabe angehen soll.
Eine systematische Anleitung wär toll. smile

18.02.2013, 23:00

Mystic

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RE: Komische Aufgabe_Stochastik
Ich kann dir jetzt nur das prinzipielle Vorgehen schildern, aber allein die Tatsache, dass du eine derartige Standardaufgabe der Teststatistik - vielleicht die häufigste überhaupt - im Threadtitel als "komisch" bezeichnest, macht mich jetzt schon etwas stutzig... Was wir hier nicht können und auch wollen, ist eine Vorlesung aus Statistik zu ersetzen...

Wie schon gesagt, sollte das Stichprobenmittel $\begin{eqnarray*} \bar X \end{eqnarray*}$ normalverteilt sein, mit dem gleichen Mittelwert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ , wie die Grundgesamtheit, aber mit einer viel kleineren Varianz, genauer

$\begin{eqnarray*} Var(\bar X)=Var(X)/n \end{eqnarray*}$

wobei n die Größe der Stichprobe bezeichnet, hier also n=100. Die Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \bar \sigma \end{eqnarray*}$ des Stichprobenmittels $\begin{eqnarray*} \bar X \end{eqnarray*}$ beträgt also dann

$\begin{eqnarray*} \bar \sigma =\frac {\sigma} {\sqrt n}=\frac{12}{10} =1.2 \text { ml} \end{eqnarray*}$

Die tatsächlich gemessene Abweichung nach unten beträgt aber 5 ml, ist also wie gesagt mehr als viermal so groß. Wir gehen aber trotzdem zunächst von der sog. Nullhypothese aus, dass alles rechtens ist, die Herstellerangaben mit $\begin{eqnarray*} \mu=1000 \end{eqnarray*}$ stimmen und die beobachtete Abweichung rein zufällig ist. Die Gretchenfrage ist nun, wie wahrscheinlich so eine zufällige Schwankung eigentlich ist. Dazu braucht man die sog. Testgröße

$\begin{eqnarray*} T=\frac {\bar X-\mu}{\bar \sigma}=\frac {\bar X-1000}{1.2} \end{eqnarray*}$

für welche sich durch Einsetzen von $\begin{eqnarray*} \bar X=995 \end{eqnarray*}$ etwa der Wert $\begin{eqnarray*} T=-4.17 \end{eqnarray*}$ ergibt... Wir lassen nun das Vorzeichen weg und schauen in einer Tabelle für die (standardisierte) Normalverteilung (oder auch mithilfe der Excel-Funktion standnormvert()) beim Wert von 4.17 nach, wie wahrscheinlich eigentlich kleinere Werte als dieser sind... Dafür ergibt sich der sehr nahe bei 1 liegende Wert $\begin{eqnarray*} \Phi(4.17)=0,99998477 \end{eqnarray*}$ , doch interessiert uns eigentlich mehr die Gegenwahrscheinlichkeit, dass die Testgröße diesen Wert oder einen noch größeren annimmt und der ist dann $\begin{eqnarray*} 1-\Phi(4.17)=0.00001523 \end{eqnarray*}$ , also dann 0.0015%... Dies ist also der berühmte P-Wert, der die Frage beantwortet, wie wahrscheinlich so eine "zufällige" Abweichung wäre... Wenn dieser P-Wert klein genug ist, wird man die Nullhypothese verwerfen... Bei einem zweiseitigen Test, wo wir Abweichungen nach oben oder unten gleich behandeln, liegt diese Schranke in unserem Beispiel bei 2.5% (die Hälfte von 5%), der in unserem Fall also weit unterschritten wird, weswegen dieser Fall bei uns tatsächlich eintritt...

Edit: Würde man dies als einseitigen Test behandelt, wofür tatsächlich einiges spricht, da uns ja eigentlich nur Abweichungen nach unten interessieren, so wäre die einzige Änderung, dass man besagte Schranke für den P-Wert wirklich bei 5% (und nicht wie oben bei der Hälfte) ansetzen müsste... Das Ergebnis, dass die Nullhypothese, nämlich dass der Mittelwert mindestens 1000 beträgt, verworfen wird, wäre natürlich gleich...

19.02.2013, 14:41

Duff-Man02

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Suuuper! Danke schön! Ich glaube es verstanden zu haben und konnte eine ähnliche Aufgabe lösen.
Eine Kleinigkeit möchte ich noch nachfragen:
Wie genau hast du die Integralgrenzen gesetzt, um 0,99998477 zu erhalten? Ich bekomme immer Werte die sehr nah dran sind aber eben nicht genau 0,99998477.
Ja, ich weiß, dass man die Werte nachgucken kann. Mich würde trotzdem interessieren, wie das mit der Gaußfunktion zu berechnen ist.

19.02.2013, 15:09

Duff-Man02

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Ok also ist die Fehlerwahrscheinlichkeit nun 0,0015%, richtig? Das ist viel weniger als die angegebenen 5%. Also sind im Schnitt keine 1000ml da, sondern "nur" in 99,9985% der Fälle, oder?
Und nochwas: in der Aufgabenstellung stand nichts von "mindestens" 1000ml, sondern von durchschnittlich 1000. Müsste man also nicht doch beide Richtungen betrachten?

19.02.2013, 15:45

Mystic

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Zitat:

Original von Duff-Man02
Ok also ist die Fehlerwahrscheinlichkeit nun 0,0015%, richtig?

Es ist richtig, dass man hier mit der Ablehnung der Nullhypothese mit Wahrscheinlickeit 0.0015% falsch liegt, wenn du das meinst...

Zitat:

Original von Duff-Man02
Also sind im Schnitt keine 1000ml da, sondern "nur" in 99,9985% der Fälle, oder?

Keine Ahnung wie du auf diese Interpretation kommst, ich kann sie jedenfalls nicht nachvollziehen... geschockt

Zitat:

Original von Duff-Man02
Und nochwas: in der Aufgabenstellung stand nichts von "mindestens" 1000ml, sondern von durchschnittlich 1000. Müsste man also nicht doch beide Richtungen betrachten?

Das "durchschnittlich" bezieht auf das Stichprobenmittel... Eine Mittelbildung ist immer ein "Durchschnitt", wenn man so will... Ich würde das jetzt eigentlich als einseitigen Test ansehen, da ja nur die Abweichungen nach unten "ärgerlich" sind, über Abweichungen nach oben würde sich der Kunde vermutlich sogar freuen... Insofern ist da von Haus aus eine klare Asymmetrie vorhanden...

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