LGS - Lösungsmenge

18.02.2013, 22:13

thommy123

LGS - Lösungsmenge

[attach]28583[/attach]

Ich verstehe leider nicht, wie hier auf die Lösungsmenge gekommen wird.
Also warum 3 Vektoren und warum die 3 Vektoren.

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18.02.2013, 22:53

Helferlein

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Du hast zwei Zeilen, die nicht nur Nullen enthalten, bei fünf verfügbaren Variablen.
Demnach sind drei (=5-2) Variablen frei wählbar. Das wurde hier gemacht, indem man nacheinander 1 für eine der drei freien eingesetzt hat und 0 für die anderen beiden.

18.02.2013, 23:12

thommy123

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Danke für die Anwort und das Editieren.

Also ist
i* =x3 = lamdba1
j* =x4 = lamdba2,
k* =x5 = lamdba3 ?

Wie komme ich dann auf die die Vektore (-1 -1 1 0 0), (1 0 0 1 0) und (0 1 0 0 1).

Sorry, ist wahrscheinlich total einfach, aber mir raucht hier grad der Schädel.

19.02.2013, 01:08

Helferlein

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Zitat:

Original von Helferlein
Das wurde hier gemacht, indem man nacheinander 1 für eine der drei freien eingesetzt hat und 0 für die anderen beiden.

Also erst $\begin{eqnarray*} x_3=1, x_4=0,x_5=0 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} x_3=0, x_4=1,x_5=0 \end{eqnarray*}$ und zuletzt $\begin{eqnarray*} x_3=0, x_4=0,x_5=1 \end{eqnarray*}$ .
Die anderen beiden Variablen ergeben sich daraus.

19.02.2013, 01:17

Dopap

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1.) die Matrix wird mit Nullzeilen aufgefüllt, bis quadratisch.

man geht wiefolgt vor, was nur die Konsequenz der Umstellung der Variablen ist:

a.) letzte Spalte negativ, dazu die 1 in letzter Zeile wegen k=k

b.) vorletzte Spalte negativ, dazu in vorletzter Zeile 1 wegen j=j

c.) vorvorletzte Spalte negativ, dazu in vorvorletzter Zeile 1 wegen i=i

und jetzt ist Schluss, da ...

19.02.2013, 22:06

thommy123

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Danke für eure Antworten. Leider steh ich immernoch total auf der Leitung.

Also i,jk, da wir nur 2 Zeilen haben die ungleich 0 sind.

Aber wie die Vektoren (-1 -1 1 0 0), (1 0 0 1 0) und (0 1 0 0 1) komme, da steh ich mit beiden Beinen auf der Leitung :-(

19.02.2013, 23:14

Helferlein

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Du hast doch über dem Lösungsraum ein GLS bestehend aus
$\begin{eqnarray*} x_2+x_3-x_5=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1+x_3-x_4=0 \end{eqnarray*}$

Umgeformt ist das dasselbe wie
$\begin{eqnarray*} x_2=x_5-x_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1=x_4-x_3 \end{eqnarray*}$

Wenn Du Dich nun (endlich mal) an meine Vorgehensweise von oben hältst und insgesamt dreimal die oben stehenden Werte einsetzt, kommst Du auf drei linear unabhängige Lösungen, die genau den drei Vektoren entsprechen.

Falls das immer noch nicht deutlich genug sein sollte, rechne ich Dir den ersten Lösungsvektor vor:
Mit $\begin{eqnarray*} x_3=1, x_4=0, x_5=0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x_2=0-1=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1=0-1=-1 \end{eqnarray*}$

Der zugehörige Vektor lautet - oh Wunder - $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} -1\\-1\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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