Zerfällungskörper, Zwischenkörper, Galoisgruppen

19.02.2013, 15:51

nore

Zerfällungskörper, Zwischenkörper, Galoisgruppen

Hi,

in den Übungsblättern, die ich durchrechne, kommen immer wieder Aufgaben, in denen man einen Zerfällungskörper eines Polynoms, dessen Galoisgruppe, die Untergruppen und die korrespondierenden Zwischenkörper bestimmen soll.

Ich denke eigentlich, die dahinterstehende Theorie einigermaßen verstanden zu haben, trotzdem brauche ich sehr lange für diese Aufgaben und bin mir teilweise etwas unsicher.

Deshalb hier mal ein Beispiel:

Berechnen sie den Zerfällungskörper $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f=X^4-X^2-1 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , die Galoisgruppe $\begin{eqnarray*} Gal(L/\mathbb{q}) \end{eqnarray*}$ , alle Unterkörper von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ und die korrespondierenden Untergruppen der Galoigruppe.

Aus der Vorlesung ist bekannt, dass die Galoisgruppe eines Zerfällungskörpers genau die Untergruppe der Permutationsgruppe der Nullstellen des Polynoms ist, für die gilt, dass alle algebraischen Gleichungen, die die Nullstellen erfüllen, auch nach der Permutation noch erfüllt sind.

Die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} \alpha := \sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \beta := \sqrt{\frac{1-\sqrt{5}}{2}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\alpha, -\beta \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\alpha)= \mathbb Q [X]/<f> \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \beta \notin \mathbb Q(\alpha) \end{eqnarray*}$ . Aber $\begin{eqnarray*} \beta^2 + \alpha^2 - 1 =0 \end{eqnarray*}$ . Also ist das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\alpha) \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} g=Y^2+\alpha^2-1 \end{eqnarray*}$ .

Deshalb ist $\begin{eqnarray*} L = \mathbb Q (\alpha)[Y] / <g> \end{eqnarray*}$

Es folgt, dass $\begin{eqnarray*} [L:\mathbb Q] = 8 \end{eqnarray*}$ . Außerdem ist jedes Polynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ separabel und somit $\begin{eqnarray*} L/\mathbb Q \end{eqnarray*}$ separabel und dadurch auch galoisch. Deshalb ist $\begin{eqnarray*} [L:\mathbb Q]=[L:\mathbb Q]_s = |Gal(L, \mathbb Q)| \end{eqnarray*}$ .

Seien $\begin{eqnarray*} x_1=\alpha, x_2=-\alpha, x_3=\beta, x_4=-\beta \end{eqnarray*}$ .

Dann gelten die Gleichungen $\begin{eqnarray*} x_1+x_2=x_3+x_4 \end{eqnarray*}$ . Damit diese nach Permutation erhalten bleiben, müssen $\begin{eqnarray*} \sigma ({x_1,x_2}) = {x_1, x_2}, \sigma ({x_3,x_4}) = {x_3, x_4} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sigma ({x_1,x_2}) = {x_3, x_4}, \sigma ({x_3,x_4}) = {x_1, x_2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \sigma\in Gal(L, \mathbb Q) \end{eqnarray*}$ .

Das gilt schon nurnoch für die acht Permutationen $\begin{eqnarray*} (1,2,3,4), (2,1,3,4), (1,2,4,3), (2,1,4,3), (3,4,1,2), (3,4,2,1), (4,3,1,2), (4,3,2,1) \end{eqnarray*}$ .

Das heißt, diese bilden die gesuchte Gruppe $\begin{eqnarray*} Gal(L, \mathbb Q) \end{eqnarray*}$ .

An der Stelle wird es etwas unschön, denn man sieht schnell, dass diese Gruppe unglaublich viele Untergruppen hat. Bezeichnen wir die Elemente der Gruppe in der obigen Reihenfolge mit $\begin{eqnarray*} id, a, b, ab, c, ca, cb, cab \end{eqnarray*}$ , dann gibt es die Untergruppen der Ordnung 2:

$\begin{eqnarray*} \{id, a\}, \{id,b\}, \{id, ab\}, \{id,c\}, \{id,cab\} \end{eqnarray*}$

Betrachtet man die Potenzen von $\begin{eqnarray*} ca \end{eqnarray*}$ , erhält man die Untergruppe $\begin{eqnarray*} \{id, ca, ab, cb\} \end{eqnarray*}$ , die genauso von $\begin{eqnarray*} cb \end{eqnarray*}$ erzeugt wird. Es gibt offensichtlich keine weiteren Untergruppen, die $\begin{eqnarray*} ca \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} cb \end{eqnarray*}$ enthalten.

Als nächstes schauen wir uns weitere Gruppen mit mindestens 3 Elementen an.

$\begin{eqnarray*} \{id,a,b,ab\} \end{eqnarray*}$ sticht auch noch sofort ins Auge.

Jede Untergruppe, in der $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ drin ist, ist schon die gesamte Gruppe. Dasselbe gilt auch für $\begin{eqnarray*} cab \end{eqnarray*}$ . Also können wir $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ beiseite lassen.

Dann gibt es noch $\begin{eqnarray*} \{id, c, ab, cab\} \end{eqnarray*}$ und das waren alle Möglichkeiten. Also gibt es die Untergruppen:

$\begin{eqnarray*} \{id, a\}, \{id,b\}, \{id, ab\}, \{id,c\}, \{id,cab\}, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{id, ca, ab, cb\}, \{id,a,b,ab\}, \{id, c, ab, cab\} \end{eqnarray*}$

Aber wie soll ich jetzt so viele Zwischenkörper finden?

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\alpha) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\beta) \end{eqnarray*}$ sind trivial und die korrespondierenden Untergruppen sieht man sofort: $\begin{eqnarray*} \{id,b\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{id, a\} \end{eqnarray*}$ .

Ich hatte nun angefangen, Erweiterungen wie $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\alpha\beta) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\alpha+\beta) \end{eqnarray*}$ zu betrachten und deren Minimalpolynome mehr oder weniger zu erraten um auf diese Weise herauszufinden, ob das wirklich echte Zwischenkörper sind und welchen Grad sie haben. Und dann habe ich einfach ausprobiert, welche Permutationen die primitiven Elemente auf sich selbst abbilden.
Aber das erscheint mit recht langwierig, auch weil ich bis zu diesem Punkt schon unglaublich viel Zeit in die Aufgabe gesteckt habe.
Außerdem habe ich keine Ahnung, was ich noch ausprobieren sollte.

Gibt es, sobald man die Untergruppen hat, eine einfache Möglichkeit, deren Fixkörper zu berechnen?

Und ist insgesamt meine Vorgehensweise richtig? Oder ist geht das auch schneller und einfacher?

Vielen Dank im Vorraus und viele Grüße
David

19.02.2013, 17:45

tmo

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Zunächst zur Notation:

Deine Schreibweise für die Permutationen ist mMn nicht praktisch. In der klassischen Zykelschreibweise erkennt man doch schneller, was wohin geschickt wird, oder?

Schreib dir doch mal zwei Erzeuger hin:

$\begin{eqnarray*} \tau: \alpha \mapsto \alpha, \beta \mapsto - \beta \end{eqnarray*}$ (Das nichttriviale Element aus $\begin{eqnarray*} Gal(L/\mathbb Q(\alpha)) \end{eqnarray*}$ )
sowie
$\begin{eqnarray*} \sigma: \alpha \mapsto \beta \mapsto -\alpha \mapsto -\beta \end{eqnarray*}$

erzeugen die Galoisgruppe. Ferner gilt $\begin{eqnarray*} \tau \sigma \tau = \sigma^{-1} \end{eqnarray*}$ , es handelt sich also um die Diedergruppe.

Damit haben wir die fünf zweielementigen Untergruppen (Die hast du ja auch schon angegeben):

$\begin{eqnarray*} \langle \tau \rangle, \langle \tau \sigma \rangle, \langle \tau \sigma^2 \rangle, \langle \tau \sigma^3 \rangle, \langle \sigma^2 \rangle \end{eqnarray*}$

Male dir nun zusammen mit den 4-elementigen Untergruppen auf jeden Fall mal einen Grahpen hin, wie die Untergruppen inenander drinsitzen. Dann weißt du auch wie die Zwischenkörper ineinandern drinsitzen.

Bestimme dann zuerst die Fixkörper zu den 4-elementigen Untergruppen. Die haben Grad 2 über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , sehen also recht einfach aus.

Das hat den Vorteil, dass du nacher bei den 2-elementigen Untergruppen schon weißt, welche Elemente auf jeden Fall im Fixkörper sind.

Dann zu den 4-elementigen Untergruppen. Die gehen recht schnell.

Es gibt ja nur 3 Stück.

Offensichtlich gehören zwei davon zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \alpha\beta \end{eqnarray*}$ wird festgehalten) und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \alpha^2 \end{eqnarray*}$ wird festgehalten). Die genaue Zuordnung geht ja schnell.

Die Dritte im Bunde ist $\begin{eqnarray*} \langle \sigma \rangle \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ hält nämlich wieder $\begin{eqnarray*} \alpha^2 \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} \alpha\beta \end{eqnarray*}$ fest.

Da bleibt aber natürlich nur noch $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ übrig. Ausgedrückt durch die Erzeuger wäre das $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{\beta}-\frac{\beta}{\alpha} \end{eqnarray*}$ .

Damit sind schon einige Fixkörper zu den 2-elementigen Untergruppen klar:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i,\sqrt{5}), \mathbb Q(\alpha) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\beta) \end{eqnarray*}$ .

Gute Kandidaten für die restlichen zwei Fixkörper sind $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\alpha \pm \beta) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

20.02.2013, 14:25

nore

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Hi tmo,

vielen Dank erstmal für deine ausführliche Antwort.

Ich hätte aber noch ein paar Fragen:

Zitat:

Original von tmo

Schreib dir doch mal zwei Erzeuger hin:

$\begin{eqnarray*} \tau: \alpha \mapsto \alpha, \beta \mapsto - \beta \end{eqnarray*}$ (Das nichttriviale Element aus $\begin{eqnarray*} Gal(L/\mathbb Q(\alpha)) \end{eqnarray*}$ )
sowie
$\begin{eqnarray*} \sigma: \alpha \mapsto \beta \mapsto -\alpha \mapsto -\beta \end{eqnarray*}$

Gibt es einen Grund dazu, genau diese Erzeuger zu nehmen, oder sind auch zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} \tau: \alpha \mapsto \alpha, \beta \mapsto - \beta \end{eqnarray*}$
sowie
$\begin{eqnarray*} \sigma: \alpha \mapsto \beta \mapsto \alpha \end{eqnarray*}$

in Ordnung?

Zitat:

Male dir nun zusammen mit den 4-elementigen Untergruppen auf jeden Fall mal einen Grahpen hin, wie die Untergruppen inenander drinsitzen. Dann weißt du auch wie die Zwischenkörper ineinandern drinsitzen.

Heißt das $\begin{eqnarray*} L^{H_1}\subseteq L^{H_2} \Leftrightarrow H_2\subseteq H_1 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Dann zu den 4-elementigen Untergruppen. Die gehen recht schnell.

Es gibt ja nur 3 Stück.

Aber diese erstmal zu bestimmen muss ich weiterhin durch "raten" machen? Also alle Kombinationen von Elementen durchgehen und sehen, ob sie eine echte Untergruppe erzeugen oder nicht?

Zitat:

Offensichtlich gehören zwei davon zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \alpha\beta \end{eqnarray*}$ wird festgehalten) und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \alpha^2 \end{eqnarray*}$ wird festgehalten). Die genaue Zuordnung geht ja schnell.

Also schaue ich an dem Punkt einfach, was festgehalten wird und das sind meist Produkte aus den Nullstellen oder etwas in die Richtung?
Oder schaue ich vorher ob mir auffällt, wann irgendwie Wurzeln wegfallen oder so (wie bei $\begin{eqnarray*} \alpha ^2 \end{eqnarray*}$ ) und prüfe dann, welche Gruppe das festhält?

Zitat:

Die Dritte im Bunde ist $\begin{eqnarray*} \langle \sigma \rangle \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ hält nämlich wieder $\begin{eqnarray*} \alpha^2 \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} \alpha\beta \end{eqnarray*}$ fest.

Da bleibt aber natürlich nur noch $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ übrig. Ausgedrückt durch die Erzeuger wäre das $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{\beta}-\frac{\beta}{\alpha} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ ist also offensichtlich Unterkörper von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ und echter Unterkörper, weil sein Erweiterungsgrad über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ 2 ist. Und deshalb ist er die einzige Möglichkeit, die wir hier haben. Richtig?

Zitat:

Gute Kandidaten für die restlichen zwei Fixkörper sind $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\alpha \pm \beta) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Sieht man das an irgendeiner Stelle oder geht es hier wiederum ums ausprobieren?

Dankeschön, dass du dir die Zeit nimmst.

Viele Grüße
David

20.02.2013, 19:33

tmo

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Ich gehe deine Fragen mal der Reihe nach durch:

1. Das wären in der Tat auch Erzeuger, aber doch sehr unübliche.

Es handelt sich hier ja um die Diedergruppe. Die erzeugt man eigentlich immer mit einem Zykel ( $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ) und einer Transposition ( $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ ).

Vor allem, wenn man schon öfters mit Diedergruppen umgegangen ist, erleichert das sehr viel. Weil man dann aus Erfahrung ohne viel Rechnen sofort weiß, welche Element welche Ordnung haben. Und die Relationen kennt man auch: $\begin{eqnarray*} \tau\sigma\tau = \sigma^{-1} \end{eqnarray*}$ . Bei deiner Erzeugerwahl wäre das nicht so, du willst das Rad quasi neu erfinden.

2. Genau

3. Ich hab es dir ja paar Zeilen später vorgerechnet. Da siehst du, dass es schon mehr systematisch als nur bloßes Raten ist.

4. Du schaust dir halt an, was die Erzeuger der Untergruppe mit den Erzeugern des Zerfällungskörpers machen. Mit etwas Erfahrung sieht man dann sehr schnell, was alles so festgehalten wird. Man muss sich dann noch davon überzeugen, dass das festgehaltene Element nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ liegt, denn dann hat man ja nix gewonnen. Z.b. hält jeder Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \alpha^2+\beta^2=1 \end{eqnarray*}$ fest, weil es eben schon in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ liegt. Das wäre keine besondere Erkenntnis.

5. Genau.

6. Die Ausdrücke $\begin{eqnarray*} \alpha \pm \beta \end{eqnarray*}$ kamen ja noch nirgends vor. Also sind sie entweder primitive Elemente der Körpererweiterung (werden also nur von der Identität festgehalten) oder sie müssen zu den noch bleibenden Untergruppen gehören. Daher schadest es nicht, es mal auszuprobieren.

21.02.2013, 12:21

nore

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Ok, vielen dank für deine Hilfe.

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