Orthogonalprojektion eines Vektors auf UVR

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Naryxus Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalprojektion eines Vektors auf UVR
Hallöchen,

ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Es sei ein n-dimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum von . Dann gibt es zu jedem genau ein , sodass auf allen Vektoren aus senkrecht steht.

Ich finde so überhaupt gar keinen Ansatz.

Ich weiß, dass nach Forderung gelten muss:
Aber woher soll ich nehmen, dass es ein solches u gibt und wie zeige ich, dass es genau ein u gibt?


Wäre wirklich cool, wenn ihr mir helfen könntet!

Grüße, Naryxus
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Es sei eine Orthonormalbasis von V, dann ist für :



Genauso gibt es eine Orthonormalbasis von U mit und man kann genauso für

schreiben :



Pack das mal Zusammen, dann kannst Du den Vektor direkt definieren. Die Eindeutigkeit folgt dann unter Ausnutzung dass U und dessen orthogonales Komplement den Vektorraum V in einer direkten Summe erzeugen.
Naryxus Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry,
verstehe das nicht so ganz... traurig

Mein erstes Problem ist, dass im zweiten Teil dieser Übungsaufgabe gezeigt werden soll, was du gerade schon geschrieben hast, also dass bei einer Orthonormalbasis von V mit und einer Orthonormalbasis von U mit die Orthogonalprojektion von V auf U durch folgendes berechnet wird:



Das heißt ich dürfte diese Definition eigentlich gar nicht verwenden...

Bis zu diesem Zeitpunkt haben wir lediglich definiert, dass wir einen Vektor v dann als Koordinatenvektor bezüglich der Basis darstellen können, indem wir für jede Komponente des Koordinatenvektors das Skalarprodukt von v mit jeweils einem Basisvektor bilden.


Trotzdem habe ich mir Gedanken gemacht, wie es weitergehen könnte, wenn ich deine Definition benutze.
Ich muss ja dann die Differenz von v und u bilden. Dann erhalte ich aber einen sehr großen Vektor mit einzelnen Differenzen in den Komponenten. Und das Skalarprodukt dieses Vektors muss dann mit einem weiteren Vektor aus U wieder 0 ergeben?
Irgendwie blicke ich da nicht durch...
Sorry! Könntest du es mir noch etwas genauer erleuchten?

Vielen Dank für deine Mühen!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wisst ihr denn schon das gilt? Zerlege den Vektor



mit



dann ist

für alle . Warum ist das so?
Welchen Vektor u' könnten wir uns nehmen so dass

, steht fast schon da Augenzwinkern
Naryxus Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

vielen Dank für deine Mühe!

Leider hatten wir alles, was du gesagt hast noch nicht und werden es wohl auch nie machen (Ich habe das ganze Skript und es kommt nicht vor).

Ich habe jetzt Hilfe von einem Assistenten bekommen.
Ich hab es dann allein gelöst.

Aber trotzdem danke für deine Hilfestellung!


Grüße
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann mir schwer vorstellen dass Ihr in diesem Komplex nicht das orthogonale Komplement behandelt, ich kann mir nur vorstellen, dass ihr es anders bezeichnet Augenzwinkern .
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Wie so oft, wenn in Aufgaben nachgewisen werden soll, dass es genau ein Objekt geben soll, kann man die Annahme, es gebe zwei solcher Objekte, die die Bedingungen erfüllen, zum Widerspruch führen. Nimm also mal an, es gebe zwei Vektoren , mit senkrecht auf allen . Dies führt auf einen Widerspruch. Dabei solltest du benutzen, dass das Skalarprodukt eine lineare Abbildung ist.
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