Frage zur Einsteinschen Summenkonvention

20.02.2013, 18:22	AmazingSam	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zur Einsteinschen Summenkonvention Aufgabe: Beweisen Sie mit Hilfe der Einsteinschen Summenkonvention und des Levi-Cevita-Symbols die Jacobi-Identität für beliebige Vektoren $\begin{eqnarray} a,b,c\in \mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a\times (b\times c)+b\times (c\times a)+c\times (a\times b)=0 \end{eqnarray}$ Meine Frage: Wenn ich diese Aufgabe mit Hilfe der Einsteinischen Summenkonvektion löse, kann ich die Indizes frei wählen oder gibt es da von den Buchstaben her eine spezielle Reihenfolge????
21.02.2013, 10:37	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zur Einsteinschen Summenkonvention Wie du die Indizes benennst, ist egal, üblich dürften $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ sein.
21.02.2013, 10:50	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Vektorprodukt lautet in Indexschreibweise bekanntlich $\begin{eqnarray} \vec a \times \vec b=\epsilon_{ijk}a_jb_k \end{eqnarray}$ . Folglich ist das doppelte Vektorprodukt $\begin{eqnarray} \vec a \times \underbrace {(\vec b \times \vec c)}_{\vec d}=\epsilon_{ijk}a_jd_k=\epsilon_{ijk}a_j\cdot \underbrace {\epsilon_{klm}b_lc_m}_{d_k}=\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}a_jb_lc_m \end{eqnarray}$ Durch Vertauschen der 3 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a, \vec b, \vec c \end{eqnarray}$ erhält man analog $\begin{eqnarray} \vec b \times (\vec c \times \vec a)=\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}b_jc_la_m \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec c \times (\vec a \times \vec b)=\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}c_ja_lb_m \end{eqnarray}$ Auf den rechten Seiten dieser beiden Formeln nennen wir die Indizes so um, dass die Indizierung mit $\begin{eqnarray} a_jb_lc_m \end{eqnarray}$ übereinstimmt (so wie in der Formel ganz oben). Es ist klar, dass dies am Inhalt beider Formel nichts ändert. Um dies zu erreichen lautet die Indexumbenennung in der 1.Formel $\begin{eqnarray} m \rightarrow j \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} j \rightarrow l \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} l \rightarrow m \end{eqnarray}$ und in der 2.Formel $\begin{eqnarray} l \rightarrow j \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} m \rightarrow l \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} j \rightarrow m \end{eqnarray}$ . Man erhält $\begin{eqnarray} \vec b \times (\vec c \times \vec a)=\epsilon_{ilk}\epsilon_{kmj}a_jb_lc_m \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec c \times (\vec a \times \vec b)=\epsilon_{imk}\epsilon_{kjl}a_jb_lc_m \end{eqnarray}$ Addiert man alles, ergibt sich $\begin{eqnarray} \vec a\times (\vec b\times \vec c)+\vec b\times (\vec c \times \vec a)+\vec c \times (\vec a \times \vec b)=(\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}+\epsilon_{ilk}\epsilon_{kmj}+\epsilon_{imk}\epsilon_{kjl})a_jb_lc_m \end{eqnarray}$ Wir sollen zeigen, dass die Klammer (...) verschwindet. Zum Beweis verwendet man die Formel $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=\delta_{li}\delta_{mj}-\delta_{mi}\delta_{lj} \end{eqnarray}$ Damit wird aus der Klammer (...) auf der rechten Seite $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}+\epsilon_{ilk}\epsilon_{kmj}+\epsilon_{imk}\epsilon_{kjl}=\delta_{li}\delta_{mj}-\delta_{mi}\delta_{lj}\,\,\,+\,\,\,\delta_{mi}\delta_{jl}-\delta_{ji}\delta_{ml}\,\,\,+\,\,\,\delta_{ji}\delta_{lm}-\delta_{li}\delta_{jm} \end{eqnarray}$ In der Tat heben sich die 6 Summanden paarweise auf.
21.02.2013, 18:05	AmazingSam	Auf diesen Beitrag antworten »
okay jetzt hab ich´s verstanden.. danke

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