Fass Wandstärke

20.02.2013, 18:32

Tenno

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Fass Wandstärke

Ein 1500 Liter fassendes zylindrisches Fass ist so aus 2 mm Stahlblech (Dichte Stahl pst= 7,86 g/cm^3) zu bauen, dass es die geringst mögliche Masse aufweist. Dieses Fass werde dann mit 900 Litern wasser gefüllt.
a) Welche Masse in kg hat das leere Fass?
b) Wie hoch ist der Wasserfüllstand in cm, wenn das Fass steht?

Leider komme ich hier nicht auf die Lösung, da ich nicht weiß, welche 2 Parameter hier zu ändern sind. Ich komme nur durch raten an das richtige Ergebnis bei a) aber nicht mathematisch. Wie berechne ich die zu optimierenden Parameter mathematisch?

Zylinderformel:

Umfang= 2 * Pi * r
Grundfläche= Pi * r^2
Mantelfläche= 2* Pi * r * h
Oberfläche = 2 * Pi * r^2 + 2 * Pi * r * h
Volumen = Pi * r^2 * h

20.02.2013, 19:04

Dopap

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es gibt doch nur 2 Variable, r und h.

Diese werden mit der Nebenbedingung V=1500 korreliert.

Als Ziel-Funktion tritt die Oberfläche auf.

20.02.2013, 19:49

Tenno

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Ja, r und h können unterschiedliche Werte annehmen, aber immer nur mit dem Ergebnis, dass das Volumen = 1500 dm^3 ergibt.

Also zum Beispiel:

r(in dm).......h(in dm)
7................9,744
8................7,46
10..............4,7746

Hier ist das Ergebnis immer 1500dm^3. Aber wie komme ich auf das optimale Verhältnis von r und h rechnerisch, damit die Wandstärke von 2mm das geringste Volumen hat?

20.02.2013, 19:58

Dopap

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Beispiele sind nett, genügen aber nicht

$\begin{eqnarray*} \pi r^2\cdot h=1500 \end{eqnarray*}$ ist die Relation zwischen r und h

jetzt nach einer Variablen auflösen und in die Zielfunktion einsetzen.

Die Zielfunktion enthält dann nur noch eine Variable.

20.02.2013, 20:46

sulo

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Ich denke, Zielfunktion ist weniger die Oberfläche als das Volumen des verwendeten Stahls.

smile

smile

20.02.2013, 20:55

Tenno

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Danke für den Tip..

Nach r aufgelöst ergibt es:

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{\frac{1500}{pi*h} } \end{eqnarray*}$

r eingesetzt in die Zielfunktion ergibt:

$\begin{eqnarray*} 2*pi* \frac{1500}{pi*h} + 2 * pi * \sqrt{\frac{1500}{pi*h} } * h = A(o) \end{eqnarray*}$

ausgerechnet:

hab ich h= 97,04 dm

eingesetzt in die Volumenformel ergibt das r = 2,218 dm

Stimmt das alles?

Die Oberfläche beträgt nun: 1383,27 dm^2

Wie berechne ich nun das Gewicht des Zylinders, wenn denn meine Rechnung bis hierhin stimmt?

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20.02.2013, 21:07

Dopap

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@sulo:

ich denke, dass mit dem Volumen des Materials = Oberfläche x Schichtdicke gemeint ist.

Das ist streng genommen nicht richtig. Ob da aber die exakte Rechnung gefordert ist verwirrt

verwirrt

Du kannst aber gerne übernehmen.

20.02.2013, 21:08

sulo

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Aus der Oberfläche kannst du nicht das Gewicht berechnen.

Siehe auch meinen ersten Beitrag.

smile

smile

@Dopap
Da die Schichtdicke relativ klein (im Verhältnis zu den anderen Angaben), könnte man das eventuell so machen.
Bei der Körperberechnung wird das in der Regel aber nicht so, sondern mit Va - Vi errechnet.

@Tenno
Du hast einen Deckel mitberechnet, ich denke, den gibt es nicht.
edit: Inzwischen denke ich, dass ein normales Fass doch einen Deckel hat.

Allerdings hat du eine Wurzel ins Spiel gebracht, dass wird deine Rechnung beim Ableiten schwieriger machen. Es wäre besser, wenn du h eliminiert hättest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich werde die Rechnung noch einmal mit Deckel über die Volumenformel und über die von Dopap gewählte Oberfläche machen.
(Die Rechnung ohne Deckel ergibt einen klaren Unterschied in den Radien, wobei mir das Ergebnis von der Volumenrechnung wahrscheinlicher erscheint).

edit 2: Auch die Rechnung "Fass mit Deckel" liefert über die Volumenformel (Va - Vi) deutlich andere Ergebnisse als über die Oberfläche*Dicke.
Ich würde meine Werte gerne mit euren vergleichen.

smile

smile

21.02.2013, 19:14

Tenno

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Die Sache ist ja die, egal welche Formel wir hier anwenden, wir kommen nicht unbedingt auf den besten Wert für das geringste Volumen der Fasswand.

Wäre es hier nicht angebracht in der Zielfunktion nach dem geringstem Extrempunkt zu suchen? Da müssen wir also die Zielfunktion in Abhängigkeit der Variable so bestimmen, dass wir eine Ableitung durchführen müssen und dann sehen, wo der Extrempunkt am geringsten in der Funktion ist.
Zumindest versteh ich das soweit aus den vorangegangen Seiten aus meinem Skript woher auch die Aufgabe stammt. Leider war eine Beispielaufgabe aus meinem Skript aus diesem Thema für mich unverständlich, daher habe ich jetzt auch diese Aufgabe wahrscheinlich nicht ganz verstanden.

Wir müssen also zuerst die korrekte Zielfunktion bestimmen und dann überlegen welcher Wert davon die geringste Größe annehmen muss um dann die Ableitung durchzuführen.

21.02.2013, 19:24

Dopap

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1.) "mein Fass" hätte dann 2 Deckel die nur innenkantig abschliesen. Nicht praktisch.
Minimiert wird die Innenoberfläche.

2.) Die Deckel werden um 4mm im Durchmesser vergrössert und dann wird nach dem Materialvolumen minimiert. Der Unterschied liegt bei ca. 2 Promille.

3.) $\begin{eqnarray*} V_a-V_i \end{eqnarray*}$ theoretisch ganz richtig, aber praktisch?

Ein Rechteck b x h des Bleches der Stärke 2mm wird zum Hohlzylinder gebogen. Hier sagt doch jeder, dass das Volumen des Hohlzylinders $\begin{eqnarray*} \rm b\cdot h \cdot 2mm \end{eqnarray*}$ ist.
Das heisst, das Volumen ändert sich offenbar beim Biegen nicht. Der Innenradius ist dann

$\begin{eqnarray*} r=\frac{b}{2\pi} \end{eqnarray*}$

Ich sehe in diesem Fall keinen Anlass für $\begin{eqnarray*} V_a - V_i \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------------

ein anderer Fall läge aber vor, wenn das fertige Fass mit reichlich Schutzmaterial bestrichen würde.

edit: habe vorigen Beitrag noch nicht gelesen!

21.02.2013, 19:28

sulo

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Ja, natürlich muss abgeleitet werden.

Dazu dient ja das Ersetzen der einen von zwei Variablen: Wir erhalten eine Funktion mit einer Variablen.
Sie wird abgeleitet und die Ableitung Null gesetzt. Auf diese Weise bestimmen wir den/die Wert(e) der Variablen, für den/die die Funktion ein Maximum/Minumum annimmt.

btw: "geringstem Extrempunkt" ist etwas doppelt gemoppelt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: Ja, das passiert, wenn man zwischendurch abgelenkt wird. Ich habe den Beitrag von Dopap nicht gesehen.

03.03.2013, 15:21

Tenno

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So ich habe nochmal alles errechnet:

$\begin{eqnarray*} Volumen = 1500000 cm^{3} =pi*r^{2}*h \end{eqnarray*}$

Ergibt nach h aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} h=\frac{1500000}{pi*r^{2}} \end{eqnarray*}$ (brauchen wir auch später)

Nun die nächste Formel (Oberfläche):

$\begin{eqnarray*} A_{o}=(2*pi*r^{2}+2*pi*r*h)*0,2 \end{eqnarray*}$ Die Oberflächenformel mal 0,2 weil es 0,2 cm Wandstärke ist.

Vereinfacht und h von oben eingsetzt ergibt die Formel:

$\begin{eqnarray*} 0,4*pi*r^{2}+\frac{600000}{r} \end{eqnarray*}$

Jetzt partiell ableiten:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0,8*pi*r-\frac{600000}{r^{2}} \end{eqnarray*}$

Nach r auflösen:

$\begin{eqnarray*} 0,8*pi*r=\frac{600000}{r^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt[3]{\frac{750000}{pi} } \end{eqnarray*}$

ergibt:

$\begin{eqnarray*} r= 62,04 cm \end{eqnarray*}$

r in h eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt[3]{\frac{750000}{pi} } \end{eqnarray*}$ in h (von oben) eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} h=\frac{1500000}{pi*\sqrt[3]{\left(\frac{750000}{pi} \right)^{2}} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = 124,07 cm \end{eqnarray*}$

Probe von r und h in Volumenformel eingesetzt :

$\begin{eqnarray*} Volumen =pi*62,04^{2}*124,07= 1500238 cm^{3} \end{eqnarray*}$ Fazit: Die Werte sind also korrekt (nur kleine Abweichung, da r und h etwas aufgerundet wurden.)

r und h nun in Oberflächenformel eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} A_{o}=(2*pi*62,04^{2}+2*pi*62,04*124,07)*0,2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{o}=14509,46 \end{eqnarray*}$

Lösung mit Stahldichte multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} 14509,46*7,86g/cm^{3}=114044,443852gramm = 144,04kg \end{eqnarray*}$

Lösung zu a): Das leere Fass wiegt 144,04kg.

Aufgabe b) ist im Dreisatz einfach zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} h= 124,07 cm....1500 liter..|..: 1500 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h= 0,0827 cm.........1 liter..|..* 900 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h= 74,442 cm.....900 liter \end{eqnarray*}$

Lösung zu b): Der Wasserfüllstand bei 900 liter ist 74,442cm hoch.

Bin gespannt auf eure Lösungen.

Anmerkung: Das Gewicht des Fasses erscheint mir doch etwas zuviel zu sein, für ein leeres Stahlfass.
Vielleicht war die Oberflächenformel doch falsch gewählt?

03.03.2013, 15:58

sulo

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Ich habe die Rechnung längst nicht mehr vorliegen, es sind ja fast 2 Wochen vergangen.

Da du dir aber so viel Mühe mit dem Aufschreiben gemacht hast, werde ich die Aufgabe ein zweites Mal durchrechnen, werde aber vermutlich erst gegen Abend genug Ruhe + Lust dazu haben.

03.03.2013, 19:55

sulo

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Ich kann deine Ergebnisse für r und h bestätigen. Freude

Freude

Mein Ansatz ging über die Differenz von Innen- und Außenvolumen, meine HB lautet:

$\begin{eqnarray*} V_{Fass}= 0,4\pi\cdot r^2+0,16 \pi\cdot r + 0,016\pi + \frac{600000}{r}+ \frac{60000}{r^2} \end{eqnarray*}$

Insofern hat Dopap recht: Bei einer so kleinen Wandstärke kann man auch mit der Oberflächenformel rechnen, was natürlich einen deutlich geringeren Aufwand bedeutet.

Den Rest der Aufgabe kontrolliere ich anschließend und schreibe die Ergebnisse anschließend als edit hier auf.

edit: Hier der Rest:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 14509,46*7,86g/cm^{3}=114044,443852gramm = 144,04kg \end{eqnarray*}$

Man kann sehen, dass dir hier ein Tippfehler bei der Umwandlung in kg passiert ist.
Das richtige Gewicht ist ca. 114 kg.

Die Füllhöhe (74,44 cm) kann ich auch bestätigen.

smile

smile

03.03.2013, 20:19

Tenno

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Sehr gut, danke sehr smile

smile

03.03.2013, 20:26

sulo

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Gern geschehen. Wink

Wink

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