Untervektorraum

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Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum
Hallo Leute,

ich habe folgende Aufgabe: Zeige das ein Untervektorraum des ist.

Meine Idee:

Ich muss zeigen das sowohl die Addition als auch die Multiplikation abgeschlossen in ist.

D.h. ich umschreibe als erstes mal den Vektor indem ich nach auflöse. Ich erhalte demnach: .

und

Als erstes zeige ich die Addition: Es gilt zu zeigen das




Ist die Argumentation bis hier hin schonmal korrekt? Ich denke da und wieder in liegen (Da ja nur die z-Koordinate sich ändert) liegen diese beiden Komponenten wieder in . Da nur ein Vielfaches von ist muss es auch wieder in liegen. Das selbe für .

Ist das so korrekt?
tyger Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ist die Argumentation bis hier hin schonmal korrekt? Ich denke da und wieder in liegen (Da ja nur die z-Koordinate sich ändert) liegen diese beiden Komponenten wieder in . Da nur ein Vielfaches von ist muss es auch wieder in liegen. Das selbe für .

naja, x oder x' oder w.a.i. liegen nicht in U, sie sind die komponenten von vektoren die das tun. du hast aber in deiner rechnung vorher gezeigt, dass die summe zweier vektoren aus U wieder die gleiche "form" wie ein v. aus U hat, und somit die abgeschlossenheit unter "+" schon gezeigt.
lg
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank.

@weisbrot,

ich wusste nicht wie ich es genau beschreiben soll.


Die zweite Bedingung wäre die Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation.

Sei und

Z.z ist demnach das

konkret also:


Wäre das damit schon gezeigt? Ich bin mir dabei ziemlich unsicher.
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

tyger ist ja nicht mehr online, also:
du möchtest ja im ergebnis sehen, dass seine z-komponente die form -3x-y/2 hat, wobei x,y für die x- bzw- y-komp. des ergebnises stehen (das ist eine, zur in U geforderten, äquivalente bedingung, das hast du ganz am anfang gezeigt). wenn du das noch etwas deutlicher machst (klammern setzen oder noch ein kommentar dazu schreiben) ists völlig ok.
aber: die übliche methode geht da (sowie bei der addition) etwas anders - z.b. für die addition: du nimmst zwei vektoren (x,y,z) und (a,b,c), von denen du weißt, dass -z=3x+y/2 bzw. analog für a,b,c. die addierst du: (x,y,z)+(a,b,c)=(x+a,y+b,z+c) und willst zeigen, dass dieser vektor wieder die in U geforderte eigenschaft hat, also ob gilt: -(z+c)=3(x+a)+(z+c)/2 - das machst du ganz einfach unter benutzung der bereits bekannten eig. von (x,y,z) und (a,b,c).
analog für skalare mult.
lg
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank weisbrot, ich werde mich in das Thema mal etwas weiter einlesen.
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Es reicht aber nicht aus nur die beiden Kriterien zu zeigen. Du musst auch noch nachweisen, dass Du nicht auf der leeren Menge operierst.
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