Primitives Element einer Körpererweiterung

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wolve Auf diesen Beitrag antworten »
Primitives Element einer Körpererweiterung
Hallo,

ich hoffe es kann mir einer weiterhelfen. Also ich hab folgenden Körper:

wobei eine primitive dritte-Einheitswurzel ist. Nun soll man ein primitves Element der Körpererweiterung angeben.

Bei zwei Elementen ist das kein Problem, ich kann z.b. zeigen dass ein primitives Element von ist. Bei drei Elementen fällt mir das schwer.

Die Idee wäre natürlich oder . Aber ich kanns leider nicht nachweisen.

Hoffe es kann mir jemand helfen!

Gruß!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Was steht dir denn zur Verfügung?

Mit Galoistheorie sieht man z.b. sehr schnell. dass primitives Element von ist, wobei und .

Es ist nämlich .

Wäre nun für ein aus der Galosigruppe, so folgt , was zu führt.

Oder muss der Nachweis etwas elementarer erfolgen?
 
 
wolve Auf diesen Beitrag antworten »

Galoistheorie steht zur Verfügung. Kann deinem Gedankengang nur nicht ganz folgen
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja schonmal gut. An welcher Stelle denn?
wolve Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Mit Galoistheorie sieht man z.b. sehr schnell. dass primitives Element von ist, wobei und .


Ich muss ja eigentlich zeigen dass
ist, d.h. zeigen dass

Bei zwei Elementen ist das kein Problem: Ich setze z.B. und betrachte Wenn ich jetzt umforme, sehe ich, dass in enthalten ist und somit dann auch die dritte Wurzel aus 2.

Bei drei Elementen geht das nicht so einfach.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Daher ja die Galoistheorie. Die macht einem das Leben hier etwas einfacher.

Ein Element ist ja genau dann primitiv, wenn es von keinem Element der Galoisgruppe außer der Identität festgehalten wird, denn:

wird nur von der Identität festgehalten ist äquivalent zu . Dies ist wiederum äquivalent zu , was gerade beudetet, dass primitiv ist.

Und genau das wollen wir für zeigen.

Zeige dazu zunächst mal, dass primitives Element der Galois(!)erweiterung ist.

Und danach schau dir nochmal meine Lösungskizze an. Vielleicht wird es dann etwas klarer.
wolve Auf diesen Beitrag antworten »

Ok wenn ich das jetzt so wie du das gemacht hast versuche, würd ich wieder annehmen,d ass für ein gilt und folgern, dass dann . Warum folgt nochmal bei dir . Das seh ich so noch nicht.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wolve
Warum folgt nochmal bei dir . Das seh ich so noch nicht.


Wir haben .

Wenn man nun beachtet, dass sowohl als auch normale Körpererweiterung ist, erhält man, dass die linke Seite in liegt und die rechte Seite in . Also liegen beide Seiten im Schnitt...

PS: Dass primitives Element von ist, kannst du übrigens wie gehabt elementar nachrechnen.

Schließlich ist ja das Adjungieren von dasselbe wie das Adjungieren von . Und dann geht es natürlich analog wie bei .

PS2: Aber eigentlich ist es auch völlig egal. Du kannst das Argument, dass letztendlich zeigt, dass primitiv ist, mit jedem primitiven Element von durchziehen.

Viel entscheidender für das Argument ist noch der Nachweis, dass in der Tat gilt.
wolve Auf diesen Beitrag antworten »

Also dass primitives Element von ist konnte ich nachweisen.
Versteh deine Argumentation auch - klingt gut!

Bei dem Nachweis, dass der Schnitt ist, hätte ich mal angenommen, dass es ein Element im Schnitt gibt und erhalten, dass ich das Element darstellen kann als:
Durch Umformen ergibt sich dann:
Somit müsste die rechte seite in sein, was aber nur geht, wenn gilt. Somit ist dann .

Kann man das so machen? Oder gibts hier vielleicht ne einfachere, elegantere Methode?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn darauf, dass sich jedes Element aus als darstellen lässt?

Der Körper hat doch als -Vektorraum Dimension 6. Da brauchst du also schon 6 Basiselemente und nicht nur 2.

Man sollte etwas konzeptioneller an die Sache rangehen. Eigentlich das nur etwas Rumschaukeln mit den Graden der ganzen Körpererweiterungen, die wir hier so haben.

Wir sortieren nochmal:

hat Grad 6 über .

hat Grad 2 über .

Daher hat ihr Schnitt Grad 1 oder 2 über . Wir müssen Grad 2 ausschließen.
In dem Fall wäre ja , also .

Dann hätte aber nur Grad 6. In der Tat hat er aber Grad 12, weil er ein gemeinsamer Oberkörper von und ist, deren Grade teilerfremd sind...
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