Zentralisator

21.02.2013, 10:55	wolve	Auf diesen Beitrag antworten »
Zentralisator Hallo, hab ein Problem mit folgender Aufgabe: Zeigen Sie, dass für jedes $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ der Zentralisator des n-Zyklus $\begin{eqnarray} (1,2,3,\ldots,n) \end{eqnarray}$ in der symmetrischen Gruppe $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ die zyklische Gruppe $\begin{eqnarray} \langle(1,2,3,\ldots,n)\rangle \end{eqnarray}$ ist. Weiß hier schon gar nicht, wie ich ansetzen soll. Vielleicht kann mir jemand von euch helfen. Danke schon mal!
21.02.2013, 11:18	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zentralisator Du brauchst dafür, dass die Konjugation $\begin{eqnarray} f \circ c \circ f^{-1} \end{eqnarray}$ deines Zyklus $\begin{eqnarray} c=(1 2 \ldots n) \end{eqnarray}$ (ohne Beistriche!!!) mit einer Permutation $\begin{eqnarray} f \in S_n \end{eqnarray}$ nichts anderes ist als $\begin{eqnarray} (f(1)f(2)\ldots f(n)) \end{eqnarray}$ Für welche Permutationen f kommt da wieder c dabei heraus?
21.02.2013, 11:34	wolve	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zentralisator Ok es wird klarer. Also wenn $\begin{eqnarray} f = (1\,2\,3\,\ldots,\,n) \end{eqnarray}$ dann kommt $\begin{eqnarray} (2\,3\,4\,\ldots\,n\,1) \end{eqnarray}$ raus was ja nichts anderes ist wie c. Richtig?
21.02.2013, 11:56	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zentralisator Ja, aber man muss sich noch überlegen, dass dies wirklich nur für Potenzen von (1 2 ... n) so sein kann...
21.02.2013, 14:24	wolve	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zentralisator Wie Begründet man das denn am besten? Mir fehlt da wahrscheinlich die zündende Idee
21.02.2013, 15:01	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zentralisator Naja, wieviel Möglickeiten gibt es, den Zyklus $\begin{eqnarray} (12 \ldots n) \end{eqnarray}$ anzuschreiben, wenn man die Voraussetzung fallen lässt, dass er mit dem kleinsten Element beginnt? Und wieviele verschiedene Potenzen hat er? Und was ist da für ein Zusammenhang?
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22.02.2013, 10:44	wolve	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zentralisator Der n-Zykel hat Ordnung $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Wo ich mich noch hart tue ist, dass wenn wir mal n = 5 nehmen, in der erzeugten Untergruppe $\begin{eqnarray} \langle (1\,2\,3\,4\,5)\rangle \end{eqnarray}$ ja auch $\begin{eqnarray} (1\,3\,5\,2\,4) \end{eqnarray}$ liegt. Wenn ich c mit diesem konjugiere, kommt ja nicht mehr c raus?!
22.02.2013, 11:24	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zentralisator Ok, wenden wir obige Regel fürs Konjugieren mal konsequent an, wobei $\begin{eqnarray} c=(12345) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f= (13524)=\binom {12345}{34512} \end{eqnarray}$ ist... Damit gilt dann $\begin{eqnarray} f\circ c \circ f^{-1}=(f(1)f(2)f(3)f(4)f(5))=(34512)=(12345) \end{eqnarray}$ Wo siehst du da einen Fehler? Oder ist es am Ende gar so, dass du nicht erkennst, dass (34512) und (12345) ident sind? Mal abgesehen davon, dass Konjugieren eines Elements mit einer Potenz dieses Elements ja ganz allgemein niemals was ändert, denn es gilt ja $\begin{eqnarray} c^k\circ c \circ c^{-k} =c^{k+1-k}=c \quad (k \in \mathbb Z) \end{eqnarray}$ Oder in Worten: Ein Gruppenelement ist stets mit allen seinen Potenzen vertauschbar...
22.02.2013, 12:38	wolve	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zentralisator Hab mich verschrieben, sorry!

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