Epsilon-Delta-Definition ... komplette Erklärung nötig

21.02.2013, 13:16

Ungelehrter

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Epsilon-Delta-Definition ... komplette Erklärung nötig

Mahlzeit,

ich, als jemand, der Mathematik absolut nicht versteht und dem mathematische Formeln Kopfschmerzen bereiten, muss nun leider das Thema Stetigkeit begreifen.
Es geht direkt um die Epsilon-Delta Definition, die ich lernen muss, anzuwenden.

1.
Was ist genau sind Epsilon und Delta?
Dass es sich um Bereiche handelt, ist mir bewusst. Nur was genau würde es bedeuten, wenn Epsilon eine natürliche Zahl, wie z.B. $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ annimmt? Welche Funktionswerte dürfen dann angenommen werden?

2.
$\begin{eqnarray*} | f(x) - f(x_{0}) | < \end{eqnarray*}$ 'epsilon'
$\begin{eqnarray*} | x - x_{0} | < \end{eqnarray*}$ 'delta'

Welche Rolle spielt hier $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ ist ja offensichtlich der Wert, an dem die Stetigkeit geprüft werden soll? Aber was ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

21.02.2013, 13:33

weisbrot

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RE: Epsillon-Delta Definition ... komplette Erklärung nötig
epsilon ist reelle zahl >0, ebenso wie delta. x ist beliebig aus dem definitionsbereich.
lg

21.02.2013, 17:33

Ungelehrter

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RE: Epsillon-Delta Definition ... komplette Erklärung nötig
Ja, auch, dass Delta eine reelle Zahl > 0 ist, weiß ich.

Aber Delta gibt ja einen Bereich von Funktionswerten an. Wie groß fällt dieser Bereich denn aus?

$\begin{eqnarray*} f(x_{0}) \end{eqnarray*}$ stellt ja die Mitte dieses Delta Bereiches dar. Wie groß darf dann ein beliebiges $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ sein, damit es noch im Bereich liegt?

Für ein Delta = 3, darf $\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_{0}) \pm 3 \end{eqnarray*}$ sein oder eher $\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_{0}) \pm 1,5 \end{eqnarray*}$ ?

Kann man Delta als Abweichung vom eigentlichen $\begin{eqnarray*} f(x_{0}) \end{eqnarray*}$ betrachten?

21.02.2013, 18:02

weisbrot

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RE: Epsillon-Delta Definition ... komplette Erklärung nötig

Zitat:

Kann man Delta als Abweichung vom eigentlichen $\begin{eqnarray*} f(x_{0}) \end{eqnarray*}$ betrachten?

ja!
die anschauung dieser definition ist, dass für "kleine" abweichungen der argumente die entspr. funktionswerte auch nur wenig voneinander abweichen.

Zitat:

Für ein Delta = 3, darf $\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_{0}) \pm 3 \end{eqnarray*}$ sein oder eher $\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_{0}) \pm 1,5 \end{eqnarray*}$ ?

steht doch klar in der definition, du hast es auch selbst gepostet: " $\begin{eqnarray*} | f(x) - f(x_0) | <\epsilon \end{eqnarray*}$ ".
du kannst dir selbst überlegen, dass das bedeutet: $\begin{eqnarray*} f(x)\in \left(f(x_0)-\epsilon , f(x_0)+\epsilon\right) \end{eqnarray*}$ .

lg

21.02.2013, 18:19

Ungelehrter

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RE: Epsillon-Delta Definition ... komplette Erklärung nötig

Zitat:

Original von weisbrot
du kannst dir selbst überlegen, dass das bedeutet: $\begin{eqnarray*} f(x)\in \left(f(x_0)-\epsilon , f(x_0)+\epsilon\right) \end{eqnarray*}$ .

lg

Was soll das heißen, dass ich "mir das selbst überlegeten kann"?

Spielt diese Formel $\begin{eqnarray*} f(x)\in \left(f(x_0)-\epsilon , f(x_0)+\epsilon\right) \end{eqnarray*}$ also gar keine Rolle?

Wäre $\begin{eqnarray*} f(x)\in \left(f(x_0)-\frac{\epsilon}{2} , f(x_0)+\frac{\epsilon}{2}\right) \end{eqnarray*}$ dann genauso korrekt?

21.02.2013, 18:29

weisbrot

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RE: Epsillon-Delta Definition ... komplette Erklärung nötig
das soll genau das heißen was da steht, also dass du meine hilfe nicht brauchst um die äquivalenz beider aussagen zu sehen.
es macht INNERHALB der definition der stetigkeit keinen unterschied, ob man |f(x)-f(y)|<eps. oder |f(x)-f(y)|<eps./2 sagt, also ist sogesehen das ding mit epsilon/2 genauso korrekt, ja (auch wenn ich nicht wüsste warum man das so schreiben wollte).
aber für sich genommen bedeutet |f(x)-f(y)|<eps. genau das, was ich geschrieben hab, und nicht dasselbe mit eps./2.
lg

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21.02.2013, 22:29

Ungelehrter

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Guten Abend,
vielen Dank erstmal für diese Information. Langsam komme ich da heran!

Nun aber mal ein Beispiel, um die Stetigkeit einer Funktion mathematisch zu beweisen. Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{2} \end{eqnarray*}$ möchte ich auf Stetigkeit an der Stelle $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ mittels der Epsilon-Delta Definition prüfen und ein Delta in Abhängigkeit von Epsilon und gegebenfalls x definieren.

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} | f(x) - f(1) | = | x^{2} - 1 | = | (x - 1) (x + 1) | \end{eqnarray*}$

info: $\begin{eqnarray*} | x - x_{0} | < \delta \end{eqnarray*}$

damit ist: $\begin{eqnarray*} | (x - 1) (x + 1) | < | \delta (x + 1) | \end{eqnarray*}$

Aber hier stagniere ich ... wie muss hier weiter aufgelöst werden?

21.02.2013, 22:46

weisbrot

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na und dann willst du doch noch, dass $\begin{eqnarray*} |\delta (x+1)|\leq\epsilon \end{eqnarray*}$ - so bekommst du dein delta in abh. von eps. und x.
lg

21.02.2013, 22:52

Ungelehrter

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Ich habe mich vertan!

Ich wollte Delta in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ . In meinem Beispiel ist $\begin{eqnarray*} x_{0} = 1 \end{eqnarray*}$ !

Also muss das x noch irgendwie beseitigt werden ... nur wie?

21.02.2013, 23:08

weisbrot

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ja stimmt, hab grad auch nicht aufgepasst.
du könntest den def.bereich dazu obda so einschränken, dass x+1 beschränkt ist. oder du könntest nochmal mit d.u. |x+1| <= |x-1|+|2| < delta + 2 abschätzen, und dann delta bestimmen.
lg

22.02.2013, 10:32

Ungelehrter

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Zitat:

Original von weisbrot
oder du könntest nochmal mit d.u. |x+1| <= |x-1|+|2| < delta + 2 abschätzen, und dann delta bestimmen.
lg

Ja, wie genau mache ich das denn? Ich kann mit diesen Vorschlägen leider nichts anfangen. Ich bin kein Mathematiker.

Mein letzter Schritt war dieser:

$\begin{eqnarray*} | \delta (x+1) | \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (x - 1 + 2) < (\delta + 2) \end{eqnarray*}$ ersetze, komme ich ja auf $\begin{eqnarray*} | \delta ( \delta + 2) | = | \delta^{2} + 2\delta | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | \delta^{2} + 2\delta | = \epsilon \end{eqnarray*}$

Damit habe eine quadratische Funktion ... das haut doch nicht hin ...

Und angenommen, ich will die ganze Sache allgemein halten. Also keine konkrete Zahl für $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ , sprich:

$\begin{eqnarray*} | \delta (x+x_{0}) | \end{eqnarray*}$ Da kann ich ja auch nicht einfach sagen: $\begin{eqnarray*} | \delta (x+x_{0}) | = | \delta (x - x_{0} + 2x_{0}) | < | \delta(\delta + 2x_{0}) | \end{eqnarray*}$ oder doch?

Dann erhalte ich natürlich wieder eine quadratische Funktion ... muss ich da evtl. die pq-Formel anwenden? Wie geht es weiter?

22.02.2013, 11:20

weisbrot

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Zitat:

Ja, wie genau mache ich das denn?

dreiecksungleichung (hab ich im letzten post nur abgekürzt, sry, dachte kennste) ist die begründung für die erste abschätzung.
und dann kannst du nach delta mit pq-formel lösen, genau (du nimmst dann natürlich die pos. lösung).
und ja, das kannst du genauso allgemeint für ein beliebiges x_0 machen, nur dass dann in deiner rechnung rechts x_0 noch im betrag stehen sollte, für den fall dass es negativ ist.
lg

22.02.2013, 11:38

RavenOnJ

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Ich will weisbrot nicht ins Werk pfuschen, aber vielleicht ist das Ganze inzwischen zu kompliziert. Ich schlage dir einen anderen Weg zum Verständnis vor.

Ich definiere eine Menge $\begin{align*} S(x_0,\epsilon) \subset D \end{align*}$ , wobei $\begin{align*} D \end{align*}$ der Definitionsbereich der Funktion ist, $\begin{align*} x_0\in D \end{align*}$ der Punkt, an dem Stetigkeit untersucht wird, und $\begin{align*} \epsilon >0 \end{align*}$ eine positive reelle Zahl ist.

$\begin{eqnarray*} S(x_0,\epsilon) := \Big\{x\in D\;\Big|\;\lvert f(x) -f(x_0)\rvert < \epsilon\Big\} \end{eqnarray*}$

Dies sind die x-Werte aus dem Definitionsbereich der Funktion, für die der Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ weniger als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ vom Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ entfernt ist. Grafisch kann man sich das so vorstellen, dass man parallel zur x-Achse einen Streifen zieht, dessen Mittellinie bei $\begin{eqnarray*} y=f(x_0) \end{eqnarray*}$ liegt und der oben bis $\begin{eqnarray*} f(x_0)+\epsilon \end{eqnarray*}$ geht und unten bis $\begin{eqnarray*} f(x_0)-\epsilon \end{eqnarray*}$ . Alle Werte x, deren Funktionswerte innerhalb des Streifens liegen, gehören zu $\begin{eqnarray*} S(x_0,\epsilon) \end{eqnarray*}$ .

Stelle dir weiterhin vor, dass alle Punkte des Definitionsbereichs eingefärbt werden: Alle Punkte, die in $\begin{eqnarray*} S(x_0,\epsilon) \end{eqnarray*}$ liegen, werden grün, alle anderen rot.

Für die Stetigkeit ist jetzt zu zeigen, dass es um den Punkt $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ herum einen Bereich gibt, dessen Punkte alle grün gefärbt sind. $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ darf dabei nicht auf dem Rand des Bereichs liegen! Dieser grüne Bereich ist eine $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebung von $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ . [Der Wert von $\begin{align*} \delta >0 \end{align*}$ ist abhängig von $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ und $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ , also müsste man eigentlich schreiben $\begin{align*} \delta(x_0,\epsilon) \end{align*}$ -Umgebung.]

Diese Konstruktion muss jetzt für alle $\begin{align*} \epsilon > 0 \end{align*}$ möglich sein. Zu jedem dieser $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ muss man einen vollständig grünen Bereich um $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ herum finden können, die $\begin{align*} \delta(\epsilon) \end{align*}$ -Umgebung von $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ . Dann ist die Funktion stetig bei $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ .

22.02.2013, 12:10

Ungelehrter

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Hallo Raven,

was Du da schreibst, habe ich bereits begriffen und verinnerlicht. Ich muss aber in der Lage sein, den Beweis für die Stetigkeit einer Funktion zu liefern.

In meinem Beispiel ist es $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} | f(x) - f(x_{0} |) = | x^{2} - x_{0}^{2} | = | (x - x_{0}) (x + x_{0}) | < | \delta (x + x_{0}) | = | \delta ( x - x_{0} + 2x_{0}) | < | \delta ( \delta + 2x_{0}) | = \delta^2+2x_{0}\delta \end{eqnarray*}$

pq-Formel:

$\begin{eqnarray*} \delta_{1} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \delta_{2} = -2x_{0} \end{eqnarray*}$

Ich schätze, ich muss das zweite Delta nehmen und den Betrag wählen. Aber nun habe ich das Ganze noch immer nicht nach Epsilon umgestellt!! Es ist zum Kotzen ...

Kann mir denn niemand einen für einen Laien nachvollziehbaren Lösungsweg präsentieren?

22.02.2013, 12:14

RavenOnJ

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Ich nahm an, es geht dir um das prinzipielle Verständnis der $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ - $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Verfahrens. Denn genauso konnte man dein 1. Posting lesen. Wie ich auch in deinen Folgeposts gesehen habe, dass du es nicht wirklich begriffen hattest. Aber wenn das Problem inzwischen ausgeräumt ist, um so besser.

22.02.2013, 12:17

weisbrot

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du musst das ding was am ende steht nicht auf nullstellen untersuchen, sondern die gleichung $\begin{eqnarray*} \delta^2+2x_{0}\delta =\epsilon \end{eqnarray*}$ lösen (und in der rechnung gehört noch der betrag um das (x-x_0) an der einen stelle), denn genau das will man ja am ende haben, dass |f(x)-f(x_0)|<epsilon ist für ein delta in abh. von epsilon mit |x-x_0|<delta.
lg

23.02.2013, 15:08

Ungelehrter

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Gut, also per pq-Formel habe ich nun zwei Delta-Werte rausbekommen:

$\begin{eqnarray*} \delta_{1} = (\sqrt{x_{0}^{2} + \epsilon}) + x_{0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \delta_{2} = (\sqrt{x_{0}^{2} + \epsilon}) - x_{0} \end{eqnarray*}$

Welches Delta muss ich nehmen? Meine Vermutung: Das zweite, da $\begin{eqnarray*} \delta < \epsilon \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{2} \end{eqnarray*}$ sein müsste, oder?

Ist das Ergebnis korrekt?

Gruß

23.02.2013, 15:45

Ungelehrter

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Ok, also ich muss meine Erkenntnis erweitern!

Ich denke, man benötigt beide Delta-Werte.

Delta1 für Werte x mit x < x0 und Delta2 für Werte x mit x > x0. Kann das stimmen?

23.02.2013, 15:58

weisbrot

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Zitat:

Gut, also per pq-Formel habe ich nun zwei Delta-Werte rausbekommen: $\begin{eqnarray*} \delta_{1} = (\sqrt{x_{0}^{2} + \epsilon}) + x_{0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \delta_{2} = (\sqrt{x_{0}^{2} + \epsilon}) - x_{0} \end{eqnarray*}$

diese pq-formel ist mir unbekannt. vielleicht meintest du eher:
$\begin{eqnarray*} \delta_{1} = -x_0 + (\sqrt{x_{0}^{2} + \epsilon}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \delta_{2} = -x_0 - (\sqrt{x_{0}^{2} + \epsilon}) \end{eqnarray*}$
davon ist eh nur eines sinnvoll, weil nur eines positiv ist, so wie delta sein soll.

Zitat:

Delta1 für Werte x mit x < x0 und Delta2 für Werte x mit x > x0. Kann das stimmen?

mh, wir hatten uns doch geeinigt, dass delta nicht von x abhängen darf?! und so wie man delta hier bestimmt waren doch alle umformungen völlig unabhängig von x.
lg

23.02.2013, 19:44

Ungelehrter

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Hast ja Recht.

Noch eine Frage. Liege ich richtig, wenn ich behaupte, es gäbe noch Stellen $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , für die gilt $\begin{eqnarray*} | x - x_{0} | \geq \delta \end{eqnarray*}$ , wobei jedoch $\begin{eqnarray*} | f(x) - f(x_{0}) | < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist?
Wenn ich es nun endlich verstanden habe, müsste ich mit dieser These Recht haben, bzw. wäre diese These absolut nachvollziehbar.

Anhand eines Beispiels habe ich es für mich persönlich schon bewiesen ...

23.02.2013, 20:48

weisbrot

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verstehe nicht wie du das meinst.. was sind jetzt hier delta und epsilon?
lg

23.02.2013, 22:39

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Ungelehrter
Liege ich richtig, wenn ich behaupte, es gäbe noch Stellen $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , für die gilt $\begin{eqnarray*} | x - x_{0} | \geq \delta \end{eqnarray*}$ , wobei jedoch $\begin{eqnarray*} | f(x) - f(x_{0}) | < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist?

Das ist für die Stetigkeit bei $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ vollkommen irrelevant, da diese Stellen außerhalb der $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebung von $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ liegen.

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