Taylor

22.02.2013, 01:25

Taylor15

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Taylor

Meine Frage:
Hallo leute ich habe gerade bei dieser Aufgabe probleme:

Sei f: ( -pi/2 , pi/2 ) pfeil R definiert durch

f(x) = ln(cosx). Berechnen sie das Taylopolynom T2 zweiten grades für f an der Stelle x0 = 0.

Zeigen sie das , dass für x element [ 0, pi/4 ] gilt:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - T_{2}(x) |\leq \frac{2}{3}*x^3 \end{eqnarray*}$

Meine Ableitung:

f`(x) = $\begin{eqnarray*} - \frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$

f``(x) = $\begin{eqnarray*} - \frac{sin(x)*(-sin(x)- cos(x)^2}{(cos(x))^2)} \end{eqnarray*}$

Stimmmen die Ableitungen soweit?

Meine Ideen:
gepostet

22.02.2013, 02:05

Taylor15

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Meine Taylorformel würde dann so aussehen:

latex] T2(x) = 0 + \frac{0}{1!}*x + .....[/latex]

Ich habe jeweils in die Funktionen für x = 0 eingesetzt.

Ich glaube irgendwas habe ich falsch gemacht oder?

22.02.2013, 02:07

Taylor15

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Jetzt müsste es richtig dargestellt werden :

$\begin{eqnarray*} T2(x) = 0 + \frac{0}{1!}*x + ..... \end{eqnarray*}$

22.02.2013, 02:17

Dustin

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Hi Taylor15,

bis jetzt stimmt alles. Allerdings hast du bislang nur bis zum ersten Grad gerechnet Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.02.2013, 02:20

Taylor15

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$\begin{eqnarray*} T2(x) = 0 + \frac{0}{1!}*x + \frac{0}{2!} *x +.... \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es stimmen oder?

Kannst du mir erklären wie ich bei der Aufgabe weiter vorgehen soll?

22.02.2013, 02:23

Dustin

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Zitat:

Jetzt müsste es stimmen oder?

Nein. Da hast du die Taylorformel falsch angewendet. Überprüf den letzten Term nochmal und wenn du nichts findest, dann erklär mir, wie du auf den letzten Summanden gekommen bist.

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22.02.2013, 02:28

Taylor15

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Ah ich glaub ich hab den Fehler so oder?

$\begin{eqnarray*} T2(x) = 0 + \frac{0}{1!}*x + \frac{0}{2!} *x^2 +.... \end{eqnarray*}$

22.02.2013, 02:30

Dustin

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Schon besser, aber immer noch nicht richtig. Du hast falsch eingesetzt.Die 0 im Zähler über der 2! ist falsch.

22.02.2013, 02:33

Taylor15

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Wieso ?

Wenn ich in die 2 Ableitung 0 einsetze , dann ergibt das 0.

Was mache ich denn falsch?

22.02.2013, 02:42

Dustin

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Zitat:

Wenn ich in die 2 Ableitung 0 einsetze , dann ergibt das 0.

Eben nicht. Vielleicht hast du die Klammern falsch gesetzt. Mir fällt nämlich gerade auf, dass in deinem ursprünglichen Post die Klammern bei der 2. Ableitung nicht richtig gesetzt sind.

22.02.2013, 02:47

Taylor15

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Rechnung:

- sin(0) * ( -sin(0) - cos(0)^2 ) / cos(0)^2

das ergibt:

0* (-0 -1) / 1 = 0

Was stimmt da nicht?

22.02.2013, 03:01

Dustin

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Wie gesagt sind die Klammern bei der 2.Ableitung falsch gesetzt. Außerdem hast du auch die Quotientenregel nicht richtig angewendet. Das hatte ich zuerst nicht bemerkt, sorry.

Die 2. Ableitung lautet richtig
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-\frac{\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot (-\sin x)}{\cos ²x} \end{eqnarray*}$

22.02.2013, 03:06

Taylor15

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Oh ja dann steht wohl im Zähler . Blöder Fehler von mir.

Hast du einen Tipp für mich wie ich weiter Vorgehen muss.

Ich weiß nicht so richtig wie ich die Ungleichung zeigen soll.

22.02.2013, 03:07

Dustin

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Wie lautet denn jetzt das Taylorpolynom richtig?

Tipp für die Ungleichung: Restgliedformel!

22.02.2013, 03:11

Dustin

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Dazu brauchst du die 3. Ableitung, und dafür würde ich erstmal die zweite Ableitung vereinfachen.

22.02.2013, 03:19

Taylor15

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Die zweite Ableitung wäre vereinfacht - 1/cos^2(x)

Jetzt die quotientenregel:

- -sin^2x /cos^4(x)

Stimmt die 3 Ableitung?

22.02.2013, 03:24

Dustin

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Nein. Die Ableitung von cos²(x) ist nicht -sin²(x). Produktregel!

Außerdem glaube ich, hast du die Quotientenregel falsch im Kopf.

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} (\frac Z N)'=\frac{Z'N-ZN'}{N²} \end{eqnarray*}$

22.02.2013, 03:29

Taylor15

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Stimmt jetzt die Ableitung:

$\begin{eqnarray*} \frac{cos^2(x) +sin^2(x)}{cos^4(x)} \end{eqnarray*}$

22.02.2013, 03:31

Taylor15

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Ein minus zeichen steht noch vor dem bruch :

$\begin{eqnarray*} - \frac{cos^2(x) +sin^2(x)}{cos^4(x)} \end{eqnarray*}$

22.02.2013, 03:36

Dustin

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Das ist jetzt leider ganz falsch. Die 2. Ableitung war doch
$\begin{eqnarray*} -\frac 1 {\cos²x} \end{eqnarray*}$
So, das muss jetzt nochmal abgeleitet werden, und zwar mit Quotientenregel. Jetzt erklär mir mal, wie du da auf dein Ergebnis kommst?!

22.02.2013, 03:40

Taylor15

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Ich hoffe jetzt stimmt , ansonsten weiss ich nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac{0*cos^2(x) -1* -sin^2(x)}{cos^4(x)} = <br /> \frac{sin^2(x)}{cos^4(x)} \end{eqnarray*}$

22.02.2013, 03:41

Taylor15

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$\begin{eqnarray*} - \frac{0*cos^2(x) -1* -sin^2(x)}{cos^4(x)} = -<br /> \frac{sin^2(x)}{cos^4(x)} \end{eqnarray*}$

Ok?

22.02.2013, 03:44

Dustin

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Du denkst immer noch, die Ableitung von cos²(x) sei -sin²(x), das stimmt aber nicht!
Leite doch mal bitte cos²(x) richtig ab. Produktregel!

22.02.2013, 03:51

Taylor15

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$\begin{eqnarray*} - \frac{0*cos^2(x) -1* cos(x)*-sin(x)}{cos^4(x)} = -<br /> \frac{2*cos(x)*-sin(x)}{cos^4(x)} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es stimmen oder?

22.02.2013, 03:53

Dustin

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja

smile

Wobei da, wo du eine 1 stehen hast, auch eine 2 stehen müsste. Aber dein Endresultat stimmt jedenfalls.

OK, und wie lautet nun das Restglied?

22.02.2013, 03:56

Taylor15

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Mein drittes Glied von der Taylorformel würde so aussehen:

0/3! *x^3

Oder was meinst du genau?

22.02.2013, 04:01

Dustin

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Ich meine das Restglied. Das müsstet ihr auf jeden Fall gemacht haben, sonst kann man die Aufgabe nicht lösen.
Hast du die Formel fürs Restglied irgendwo stehen?

22.02.2013, 04:04

Taylor15

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Das müsste die hier sein oder?

ABer wie benutze ich die genau ?

Was setze ich für das epsilon ein?

Ich habe da grosse probleme.

22.02.2013, 04:12

Dustin

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Genau, das ist sie Freude

Freude

Das Epsilon ist eine unbekannte Zahl im betrachteten Intervall, hier also $\begin{eqnarray*} [0;\frac{\pi}4] \end{eqnarray*}$
Da Epsilon nicht genau bestimmt werden kann, kann man das Restglied nicht exakt bestimmen, sondern nur nach oben abschätzen.
Das heißt konkret: Du überlegst dir, für welches Epsilon der sin möglichst groß und der cos³ möglichst klein wird (du kannst ja in der 3. Ableitung noch einen cos kürzen).

22.02.2013, 04:19

Taylor15

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Bei Pi wäre der sin glaub ich 1 . Inwieweit hilft mir das?

22.02.2013, 04:25

Dustin

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Gar nicht, weil ja Epsilon zwischen 0 und pi/4 liegen muss Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wo wird in diesem Bereich der sin maximal?

22.02.2013, 12:00

Taylor15

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Bei Pi/4 ist der Sinus maximal oder?

Was muss ich denn jetzt genau weiter machen?

24.02.2013, 14:00

Che Netzer

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Du bist wohl bei $\begin{eqnarray*} f'''(x)=-2\frac{\sin x}{\cos^3x} \end{eqnarray*}$ angekommen.
Jetzt bilde den Betrag $\begin{eqnarray*} \lvert f'''(x)\rvert \end{eqnarray*}$ und suche dessen Maximum auf $\begin{eqnarray*} [0,\tfrac\pi4] \end{eqnarray*}$ .

PS:
Eigentlich lässt sich die zu zeigende Aussage noch verbessern, aber egal.
Und: Hier kann gerne jederzeit jemand anderes übernehmen.

24.02.2013, 14:05

Taylor15

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Müsste das maximum nicht bei pi/4 liegen?

24.02.2013, 14:08

Che Netzer

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Genau. (bei der Abgabe solltest du das noch begründen)
Jetzt bilde also $\begin{eqnarray*} \lvert f'''(\tfrac\pi4)\rvert \end{eqnarray*}$ .

24.02.2013, 14:16

Taylor15

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Da kommt dann 0,027 raus .

Richtig?

24.02.2013, 14:18

Che Netzer

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Bitte nicht als Dezimalzahl schreiben...
Du kannst alle Werte exakt angeben.

24.02.2013, 14:24

Taylor15

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Kann es sein das nur 2 übrig bleibt?

24.02.2013, 14:28

Taylor15

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Tschuldigung das müsste rauskommen oder?

$\begin{eqnarray*} 2*\frac{1}{(\frac{1}{2}*\sqrt{2} )^2 } \end{eqnarray*}$

24.02.2013, 14:30

Che Netzer

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Zitat:

Original von Taylor15
Tschuldigung das müsste rauskommen oder?

$\begin{eqnarray*} 2*\frac{1}{(\frac{1}{2}*\sqrt{2} )^2 } \end{eqnarray*}$

Ja, und nun vereinfache das mal.

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