Welche Fächer belegen? (grosses Interesse an Quantenmechanik)

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Huy Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Fächer belegen? (grosses Interesse an Quantenmechanik)
Hallo,

Ich studiere derzeit Mathematik im 4. Semester. Bisher waren die meisten zu belegenden Fächer vorgeschrieben, nämlich folgende: Analysis 1/2, Mass und Integral, Lineare Algebra 1/2, Algebra 1/2, Numerische Mathematik 1/2, Physik 1/2/3, Methoden der Mathematischen Physik 1/2, Funktionentheorie, Topologie, Wahrscheinlichkeit und Statistik, Geometrie, Informatik, Algorithmen und Komplexität.

Im 3. Semester wurde ich erstmals in Physik 3 und MMP 1 in die Quantenmechanik eingeführt und ich bin daran sehr interessiert. Gerne würde ich mich mehr ins Thema vertiefen und mich auch in diese Richtung spezialisieren. Dafür belege ich auch zusätzlich zu meinen obligatorischen Fächern dieses Semester noch MMP 2. Ab dem 5. Semester werden keine Fächer mehr vorgegeben sein und ich werde mir die zu belegenden Fächer selbst aussuchen können. Dazu wollte ich mich erkundigen, welche mathematischen Fächer sich dazu besonders eignen. Ich habe gehört, dass man - wenn man ordentlich Quantenmechanik machen will - unbedingt Funktionalanalysis benötigt, weswegen ich diese Vorlesung sicherlich besuchen werde. Gibt es sonst noch mathematische Fächer, die für mich interessant sein könnten?

Es werden extrem viele verschiedene Fächer angeboten und ich denke, dass darunter auch die "wichtigsten" sind. Was mich auch noch interessiert: An meiner Universität wird eine Vorlesung namens "Theoretische Physik" im Bereich der angewandten Mathematik angeboten, welche aber nur angerechnet wird, falls man weder die Vorlesung "Elektrodynamik" noch "Quantenmechanik 1" besucht hat. Gemäss Kurzbeschreibung geht es in dieser Vorlesung um "Elektrostatik, Randwertprobleme, Magnetostatik, Maxwell Gleichungen, Elektromagnetische Wellen, retardierte Potentiale, spezielle Relativitaetstheorie, Wellenmechanik an Hand einfacher Systeme, abstrakter Formalismus der Quantenmechanik, Heisenberg'sche Unschaerferelation, harmonischer Oszillator, Symmetrien und Drehimpuls, Wasserstoffatom, Quantenmechanik und klassische Physik (EPR Paradox)". Gehe ich richtig davon aus, dass ich wesentlich mehr über Quantenmechanik wissen werde, wenn ich die Vorlesungen Quantenmechanik 1/2 besuche, während die Vorlesung "Theoretische Physik" wesentlich einen "Überblick" über die Elektrodynamik und die Quantenmechanik liefert?

Sind irgendwelche algebraischen Fächer zu empfehlen? Etwa Darstellungstheorie oder Lie-Gruppen? Wie wichtig sind PDEs in der Quantenmechanik, oder sollte ich die Vorlesung sowieso besuchen, da man PDEs fast überall antrifft?

Ich habe da echt keine Ahnung, und mein Assistent in Physik konnte mir nicht weiterhelfen, da er sich in eine völlig andere Richtung spezialisiert hat. Meinen Assistenten in MMP habe ich noch nicht gefragt, der hat sich aber in Algebra spezialisiert und ich weiss nicht, ob der mir weiterhelfen kann.

Danke im Voraus für jegliche Hilfe.

MfG
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Was Dich interessieren könnte ist natürlich immer schwer zu sagen. Funktionanalysis ist, wie Du ja selbst schon gesehen hast, quasi obligatorisch für die Quantenmechanik. Insbesondere ist darauf zu achten, dass auch die Theorie unbeschränkter Operatoren behandelt wird, denn einer der wichtigstens Operatoren der Quantenmechanik, der Hamiltonoperator, ist unbeschränkt (und selbstadjungiert Augenzwinkern ). Bei uns wurde die Theorie der unbeschränkten Operatoren erst in Funktionalanalysis II behandelt von daher musst Du da mal in die Inhaltsangabe der Veranstaltung schauen.

Distributionentheorie wäre ganz nett wenn Du nicht mit der "physikalischen" Deltafunktion arbeiten möchtest (ich will hier keinen Krieg vom Zaun brechen Big Laugh ). Das haben wir aber auch in Funk ANA gemacht.

Soweit ich weiß hat die Quantenmechanik auch einen Anteil Wahrscheinlichkeitstheorie, das wäre aber nochmal zu prüfen um dir eine Vertiefung in die Richtung zu empfehlen.
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, für die mathematische Quantenmechanik ist Wahrscheinlichkeitstheorie in den Grundlagen weitestgehend irrelevant. Maßtheorie ist wichtig, Wahrscheinlichkeitstheorie kommt dann in Form zufälliger Schrödingeroperatoren, etc. rein. Wenn einen das später mal interessiert, dann helfen stochastische Prozesse und Zufallsmatrizen (wovon ich selbst allerdings nichts weiß) und entsprechend als Grundlage auch W-theorie. Mit der für einen Mathematiker i.d.R. verpflichtenden W-Theorie (in Form von einführender Stochastik, etc.) kommt man da aber schon einigermaßen mit.

Generell kannst du dir mal das Buch Lieb/Loss "Analysis" anschauen. Elliott Lieb ist einer der weltweit wichtigsten mathematischen Physiker auf dem Gebiet der math. Quantenmechanik und das Buch, wenn auch ein Analysisbuch, behandelt die wesentlichen mathematischen Grundlagen, die man in der MQM braucht. Das sind im Wesentlichen auch von Mazze aufgezählte Sachen.
PDE ist sicherlich eine wichtige Vorlesung, man braucht allerdings eher den funktionalanalytischen Hintergrund, als spezielle Beschreibungen von Lösungsmethoden. Mit "funkana. Hintergrund" meine ich: Sobolevräume und schwache Formulierungen, variationelle Methoden, abstrakte Lösungsmethoden (Stones Theorem über unitäre Einparametergruppen) und natürlich - ganz ganz wichtig - die Fouriertransformation und so etwas, was häufig auch eher in der Funkana angesiedelt wird.
Wenn du da etwas genauer reinschauen willst, dann kannst du dir mal das Buch von Teschl "Mathmetical Methods in Quantum Mechanics" anschauen - das gibt's auf seiner Homepage auch legal zum Download. Im Grunde ist das eine abgespeckte und knapp gehaltene Version des vierbändigen Monstrums "Methods of Modern Mathematical Physics" von Reed/Simon (Simon ist ein weiterer der ganz ganz Großen auf dem Gebiet).

Je nachdem in welcher Form dich Quantenmechanik interessiert, kann es interessant sein, sich Operatoralgebrentheorie anzueignen (ein Klassiker für Physiker sind die beiden Bände von Bratteli und Robinson "Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics"). Man kann - was insbesondere in der Quantenoptik und Quanteninformation für unendlich dimensionale Systeme gerne gemacht wird - die Quantenmechanik nämlich anstatt über Hilberträume über Operatoralgebren aufbauen. Der Zusammenhang besteht über die sogenannte Gelfand-Naimark-Segal-Konstruktion, mit der man im Grunde auf Darstellungen auf Hilberträume kommt. Das ist Geschmacksache und am Anfang eher weniger relevant.

Die Algebra ist eher weniger relevant, nicht zuletzt daher, weil die meisten Physiker wenig Algebra können und damit nicht so viel Algebra Einfluss erhält. Darstellungstheorie kann interessant sein, wenn man in Richtung Quantenfeldtheorie geht, kommt man wohl nicht an Darstellungstheorie nichtkompakter Liegruppen vorbei (das wird in der Physik meist recht unmathematisch abgehandelt), und Darstellungstheorie von Algebren kommt in der Operatortheorie vor, aber das ist alles zu Beginn nicht unbedingt wichtig (für Algebren findet sich alles wichtige im oben genannten Buch von Bratteli und Robinson; Band I).
Es gibt allerdings auch hier Versuche einiger weniger Mathematiker der Quantenmechanik eine kategorientheoretische Formulierung zu geben - die meisten Leute lehnen das aber als unnötig ab.

Ach ja: Je nachdem, wofür man sich interessiert, also wenn man beispielsweise eher Richtung endlich dimensionaler Quantensysteme geht (vorwiegend in der Quanteninformation), dann ist eines der wichtigsten Gebiete die lineare Algebra (klassisch), insbesondere Matrixanalysis. Wenn man sich da also ein bisschen interessiert, kann man mal in die Bände von Bathia ("Matrix Analysis") oder Horne/Johnson (gleicher Titel glaube ich) reinschauen. Teile davon (insbesondere Perron-Frobeniustheorie) spielen wohl auch im Kontext der statistischen Physik eine Rolle. Das ist aber alles eher nur relevant, wenn man sich innerhalb der Quantenmechanik spezialisiert.

Gruß
MI
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