Klausur relevante Fragen

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Nspace Auf diesen Beitrag antworten »
Klausur relevante Fragen
Da ich am Montag meine Mathe Klausur schreibe, bin ich etwas aufgeregt und würde gerne von welchen, die gerade etwas Zeit für mich übrig haben, einen Blick auf meine Aufgaben + Lösungen/Lösungsansätze wünschen. Teilweise habe ich auch noch einige wahrscheinlich recht dumme Fragen, die mir zum Verständnis aber weiterhelfen würde.
Da es mehrere Aufgaben sind, wollte ich nicht für jede einen separaten Thread eröffnen, also ich hoffe es ist ok, dass ich diesen Beitrag so salopp an euch richte.

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3:
a)

R sei eine binäre Relation auf einer Menge A. R sei irreflexiv und transitiv.
Zeigen Sie, dass R dann auch antisymetrisch ist.
----
Würde hier nicht ein Beispiel wie R = {(a, b)} mit a, b Element von A reichen?
Der Graph wäre ja: a -> b ; also irreflexiv, transitiv und sowohl symetrisch wie auch antisymetrisch.

b)
Es sei H die multiplikative Gruppe des Körpers Z13.
Zeigen Sie, dass die Ordnung des Elements 2 Element von H größer als 6 ist und folgern Sie daraus, dass H zyklisch ist.
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Da H die multiplikative Gruppe von Z13 ist, heißt das nichts weiter, als das H = Z13 \ {0} ist.
Teiler von 12 sind: 1, 2, 3, 4, 6, 12:
,
Damit ist bewiesen, dass die Ordnung von 2 größer als 6 sein muss.

Da 2 dieselbe Ordnung wie H hat, ist H zyklisch.

Wäre das in Ordnung?
Oder irre ich mich in Bezug auf H?
Ich habe nämlich auch gelesen, dass multiplikative Gruppen nur Teilerfremde Zahlen haben, davon steht in unseren Unterlagen jedoch nichts.

Zusatzfrage von mir:
Wenn nun nicht nach der multiplikativen Gruppe H gefragt wäre, sondern nach Z13, wäre ja nach dem Satz von Lagrange für die Ordnungen von 2 nur Teiler von 13, sprich nur 1 und 13 ansich zulässig.
Aber für alle Zahlen n = 0 .. 12 gilt: sowie n^1 = n. Da es ja aber heißt, dass jede Gruppe von Primzahlordnung (was ja 13 ist) zyklisch ist: wo ist das Erzeuger Element von Z13?
Oder bringe ich gerade was durcheinander?
Meiner Theorie nach ist es 3, da für 3^n (bei n = 0 .. 12) ich alle elemente erzeuge, nur beißt sich das meiner Meinung nach mit der Aussage, dass für ein Element als Ordnung nur Teiler der Ordnung der Gruppe infrage kommen.
Da wäre eine kurze Klärung echt super.


c) Für H wie in b): Wie btrachten die Untergruppe von H.
Geben sie die Rechtsnebenklasse von H an, die das Element 2 enthält.
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Erstmal:


====

4:
a)
Es sei A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Wieviele ternäre Relationen auf A und wieviele binäre Relationen auf B gibt es?
----
Gleich viele, jeweils 2^64 (für A: 2^(4 * 4 * 4) ; für B: 2^(8 * 8)

b) Es seien a, b, c Elemente einer Gruppe. Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck:

----
Ausklammern:
Ergibt:
Vorauzsgesetzt es handelt es sich um eine abelsche Gruppe, sonst wären keine Operationen zulässig.

c) Es sei p eine Primzahl und n = p^2. Bestimmen Sie die Ordnung der Einheitengruppe E(Zn) des Ringes Zn.
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Da p eine Primzahl ist, sind nur 1 und p selbst ein Teiler von p.
Wäre jetzt n = p, würde ich sagen: Die Ordnung ist p selbst (wegen p Elemente in Zn).
Aber durch das Quadrat bin ich etwas verwirrt. Weiß jemand einen Ansatz?

====

5:
b)
A und B seien abzählbare Mengen. Beweisen Sie, dass dann auch A x B eine abzählbare Menge ist.
----
Da weiß ich jetzt nicht wirklich weiter, was ich in der Klausur da schrieben würde.
Ich habe dazu das Cantorsche Diagonalverfahren gefunden, aber dass kann ich ja schlecht als Lösung angeben, so ganz ohne weiteren Text.
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klausur relevante Fragen
3.a) nein, das musst du schon allgemein beweisen, für eine beliebige solche relation R.

b) ja, das geht in ordnung. du hättets im letzten schritt auch einfach rechnen können: 2^12 = 2^6 * 2^6 = 12 * 12 = 1 mod(13).
Zitat:
Ich habe nämlich auch gelesen, dass multiplikative Gruppen nur Teilerfremde Zahlen haben, davon steht in unseren Unterlagen jedoch nichts.
so bildet man aus der menge (hier) Z_13 die entspr. mult. gruppe, die du hier hast. du hättest also am anfang hächstens nach zu 13 teilerfremden zahlen gucken müssen - erübrigt sich, weil 13 prim ist.

zus.:
Zitat:
Aber für alle Zahlen n = 0 .. 12 gilt: sowie n^1 = n. Da es ja aber heißt, dass jede Gruppe von Primzahlordnung (was ja 13 ist) zyklisch ist: wo ist das Erzeuger Element von Z13? Oder bringe ich gerade was durcheinander?
du musst hier aufpassen: dein Z_13 ist hier ADDITIV, d.h. wird auch durch addition vom einem erzeuger erzeugt. mit dem kleinen fermat kannst du hier nichts anfangen. Z_p für eine primzahl p wird übrigends von allen seinen elementen erzeugt, also Z_13 bspw. auch von 2 (kannst du nachprüfen - immer sukzessive 2 mit sich selbst addieren).

c) ok.

4.a) ok.

b) nein! so geht das nicht. dass eine gruppe abelsch ist sollte man immer erst annehmen, wenn es ausdrücklich gesagt wird.
du musst hier außerdem beachten, das beim invertieren eines produktes sich auch die reihenfolge der faktoren "invertiert", also (ab)^(-1) = b^(-1)a^(-1).

c) hier musst du halt alle echten teiler von p^2 finden. der rest (bis auf 0) sind dann alles einheiten.

5.b) doch, denke genau danach ist hier gefragt. mal ein bild oder soAugenzwinkern

lg
Nspace Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klausur relevante Fragen
Zitat:
Original von weisbrot
3.a) nein, das musst du schon allgemein beweisen, für eine beliebige solche relation R.

Ich hab's befürchtet. Wie macht man sowas bzw. wie setzt man da an?

Zitat:
Original von weisbrot
so bildet man aus der menge (hier) Z_13 die entspr. mult. gruppe, die du hier hast. du hättest also am anfang hächstens nach zu 13 teilerfremden zahlen gucken müssen - erübrigt sich, weil 13 prim ist.

Also wenn bei bspw. Gruppe Z_m das m nicht prim ist, besteht die multiplikative Gruppe nur aus Teilerfremden Zahlen von m?
Zitat:
Original von weisbrot
Z_p für eine primzahl p wird übrigends von allen seinen elementen erzeugt

Und dabei ist die Operation egal oder nur bei additiven?

Zitat:
Original von weisbrot
b) nein! so geht das nicht. dass eine gruppe abelsch ist sollte man immer erst annehmen, wenn es ausdrücklich gesagt wird.`

Also da es nicht explizit gesagt wird, sind keine Operationen möglich, fertig?

Zitat:
Original von weisbrot
du musst hier außerdem beachten, das beim invertieren eines produktes sich auch die reihenfolge der faktoren "invertiert", also (ab)^(-1) = b^(-1)a^(-1).

Stimmt, verdammt. Das hatte ich völlig vergessen.

Zitat:
Original von weisbrot
c) hier musst du halt alle echten teiler von p^2 finden. der rest (bis auf 0) sind dann alles einheiten.

Nun alle echten Teiler von p^2...
7^2 = 49 und 49 ist keine Primezahl, aber einzig durch 1, 7 und 49 teilbar.
Also wären die Elemente von (n = p^2) Z_n demnach {1, p, n} und damit wäre die Ordnung 3.
Bsp.: 2^2 = 4. 4 ist durch 1, 2 und 4 teilbar. 3^2 = 9. 9 ist durch 1, 3 und 9 teilbar usw.
Wäre das so richtig?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klausur relevante Fragen
Zitat:
Ich hab's befürchtet. Wie macht man sowas bzw. wie setzt man da an?
einfach mal die voraussetzungen und das zu beweisende hinschreiben und sich klarmachen was das bedeutet, dann sollte man schon iwie drauf kommen.

Zitat:
Also wenn bei bspw. Gruppe Z_m das m nicht prim ist, besteht die multiplikative Gruppe nur aus Teilerfremden Zahlen von m?
ja genau (auch wenn m prim ist). für eine primzahl p hat man dann die elemente (bzw. deren vertreter) 1, ..., p-1; bei z.b. m=4 sind das eben nur 1 und 3.

Zitat:
Und dabei ist die Operation egal oder nur bei additiven?
nein, damit ist die additive gruppe gemeint (die zuvor besprochene multiplikative gruppe, die daraus, durch entfernen der zu m nicht-teilerfremden elemente, entsteht, schreibt man dann meist so: , bzw. ).
du kannst dir das überlegen, weil ja immer zur additiven gruppe isomorph ist (p-1 muss ja nicht prim sein, also sind da auch nicht alle elemente erzeuger), also beide genausoviele erzeuger haben müssen.
meine aussage aus dem 1. post ist übrigends nicht wahr, denn es wird von allen seinen elementen - abgesehen vom neutr. element - erzeugt.

Zitat:
Also da es nicht explizit gesagt wird, sind keine Operationen möglich, fertig?
nein! warum sollen keine operationen möglich sein? denk einfach nur daran, was ich zum invertieren von produkten geschrieben hab.

Zitat:
Nun alle echten Teiler von p^2... 7^2 = 49 und 49 ist keine Primezahl, aber einzig durch 1, 7 und 49 teilbar. Also wären die Elemente von (n = p^2) Z_n demnach {1, p, n} und damit wäre die Ordnung 3. Bsp.: 2^2 = 4. 4 ist durch 1, 2 und 4 teilbar. 3^2 = 9. 9 ist durch 1, 3 und 9 teilbar usw. Wäre das so richtig?
na, die teiler von p^2 sind genau die nicht-einheiten, der rest bildet deine einheitengruppe.

lg
Nspace Auf diesen Beitrag antworten »

Nun wenn es um die Elemente ohne {1, p, n} geht, kann ich dann nicht einfach sagen:
die Ordnung von Z_n \ {1, p, n}? Ich steh gerade etwas auf dem Schlauch habe ich das Gefühl.

Zu dem Term:

Daraus wird dann:

Ja?
Dann heben sich auf, sowie sowie ein
Über bleibt also ba. Oder nicht?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Oder nicht?
doch.

Zitat:
Nun wenn es um die Elemente ohne {1, p, n} geht, kann ich dann nicht einfach sagen: die Ordnung von Z_n \ {1, p, n}? Ich steh gerade etwas auf dem Schlauch habe ich das Gefühl.
ne, 1 ist doch klarerweise einheit, daas solltest du nicht rausnehmen. ich seh auch grad, dass ich nen ziemlich schlimmen fehler gemacht hab: ich hab gesagt: "die nicht-einheiten sind genau die echten teiler von p^2" - was nicht stimmt, denn es sind genau die zu p^2 nicht teilerfremden zahlen (was etwas anderes ist, aber gern mal so im eifer des gefechts vermischt wird).
also die hier gesuchte einheitengruppe besteht aus den zu p^2 teilerfremden zahlen.
das ding - falls das nicht klar ist, ich hab es zumind. nicht gesagt - ist übrigends genau die mult. gruppe, deren konstr. wir vorher besprochen haben.

lg
 
 
Nspace Auf diesen Beitrag antworten »

Also wie würde ich das aufschreiben?
Die Ordnung ist gleich der Anzahl der zu p^2 teilerfremden Zahlen?
Allerdings versteh ich's nicht bzw. kann's mir nicht vorstellen, wieso das so ist bzw. wie so etwas für unterschiedliche Zahlen wie 2, 3, 5, 7 etc. aussehen würde.
Du meinst doch bestimmt H oder nicht?

Ich habe soweit auch die restlichen Aufgaben gemacht, bis bei der Induktion keine Schwierigkeiten, aber wenn auch da insgesamt jmd. nochmal rüber gucken würde, würde ich mich freuen.

====

1a)
f: Z -> Z x Z
f(v) = (v - 3, v + 2)

Beh.: f ist injektiv
Bew.: Angenommen, f wäre nicht injektiv, dann gäbe es a, v Element Z mit und f(v) = f(a)
=>
(v - 3, v + 2) = (a - 3, a + 2)
I: v - 3 = a - 3
II: v + 2 = a + 2
I + II: 2v - 1 = 2a - 1 | + 1 ; : 2
v = a
im Widerspruch zu

Beh.: f ist surjektiv
Bew.: Es sei v, y Element Z mit y beliebig und v = y + 3
f(v - 3, *):
v - 3 -> Einsetzen y + 3 - 3 = y
Somit hat jedes beliebige y Element Z ein wohldefiniertes Urbild.



b)
g: Z x Z -> Z x Z
g(n, m) = (2m - n, n - 5m)

Beh.: g ist injektiv
Bew.: Angenommen g wäre nicht injektiv, dann gäbe es ein (n, m), (a, b) Element von Z x Z mit
sowie g(n, m) = g(a, b)
=>
(2m - n, n - 5m) = (2a - b, b - 5a)
I: 2m - n = 2a - b
II: -5m + n = -5a + b

I + II:
-3m = -3a | : (-3)
m = a

in I:
2a - n = 2a - b | : 2a ([1] Vorausgesetzt)
-n = -b | * (-1)
n = b

[1]:

Damit auch (n, m) = (a, b) im Widerspruch zu

c)
Für n >= 2 gilt:



IS:
Wir wählen ein beliebiges n Element N mit n >= 2 und setzen voraus, dass die Gleichung für dieses n gilt.
Wir zeigen, dass es auch für n + 1 gilt.
zu zeigen ist also:



Geht nicht ganz auf. Sieht jmd. meinen Fehler?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also wie würde ich das aufschreiben? Die Ordnung ist gleich der Anzahl der zu p^2 teilerfremden Zahlen? Allerdings versteh ich's nicht bzw. kann's mir nicht vorstellen, wieso das so ist bzw. wie so etwas für unterschiedliche Zahlen wie 2, 3, 5, 7 etc. aussehen würde. Du meinst doch bestimmt H oder nicht?
na die ordnung einer gruppe ist doch die anzahl ihrer elemente - und das sind hier eben alle einheiten, also ist der weg zum finden der lösung herauszufinden, was aus dem betrachteten ring einheiten und was nicht-einh. sind; und hier weiß man, dass die einheiten genau die zu p^2 teilerfremden zahle sind - also zählt man die, bzw. man zählt alle anderen elemente (die nicht-einheiten).

wo kommen die ganzen anderen aufgaben her?? geschockt
du willst nicht wirklich dass ich die alle kontrolliere??
wenn überhaupt, dann erstmal schritt für schritt und mit konkreten fragen. oder mach einen neuen thread auf für ein paar der aufgaben!

lg
Nspace Auf diesen Beitrag antworten »

Bei den Injektiv/Surjektiv Aufgaben (also a und b) würde ich nur gerne eine zweite Meinung hören.
Ich bin mir da sehr sicher aber ich bin kein Mathe Experte und mag in Anbetracht der Tatsache, dass Montag Klausur ist, gerne eine zweite Meinung dazu.
Bei c ist meine Frage nur, ob jemand meinen Denk/Rechenfehler sieht.
Meine Induktion "klappt" ja, aber mein Ergebnis ist irgendwie leicht anders als das, was ich eig. zeigen wollte.
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich hab mir jetzt nur die sache mit f angeguckt: injektivität ist ok, obwohl den weg über den widerspruch nicht gehen müsstest.
was du bei der surjektivität machst verstehe ich nicht.. f ist ganz sicher nicht surjektiv - bei den werten, die f annimmt, ist der erste eintrag doch immer genau 5 weniger als der zweite, also ist sowas wie (0,0) ganz sicher nicht im bild von f.

bei der induktion kürzt du irgendwann einfach aus einer summe ohne einen der summanden zu beachten (was man nicht machen sollte); bis dahin sahs aber gut aus.

lg
Nspace Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man du hast recht, was für ein dummer Fehler...
Vielen Dank.
Es müsste dann folglich lauten:
Beh.: f ist nicht surjektiv
Bew.: Wir zeigen, dass es kein v Element Z gibt für das gilt: f(v) = (0, 0) mit (0, 0) Element Z x Z.
(0, 0) = (v - 3, v + 2)
I: 0 = v - 3 -> v = +3
II: 0 = v + 2 -> v = -2
Unterschiedliche Lösungen für v -> nicht surjektiv.

Und inwiefern hätte ich für die Injektivität nicht den Weg über den Widerspruch gehen müssen?
Wie wäre es denn dann gegangen?

Das mit der Induktion: du meinst weil ich (n + 2) kürze?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

einfach das kursive in den [] weglassen:
Zitat:
[Angenommen, f wäre nicht injektiv, dann gäbe es a, v Element Z mit und]
f(v) = f(a) =>
(v - 3, v + 2) = (a - 3, a + 2)
I: v - 3 = a - 3
II: v + 2 = a + 2
I + II: 2v - 1 = 2a - 1 | + 1 ; : 2
v = a
[im Widerspruch zu ]
damit hast du injektivität gezeigt (denn inj. heißt doch einfach: f(x)=f(y) => x=y).

Zitat:
Das mit der Induktion: du meinst weil ich (n + 2) kürze?
ja, siehst du den fehler nicht?

die nicht-surjektivität ist übrigends richtig gezeigt.

lg
Nspace Auf diesen Beitrag antworten »

Aso, naja den kursiven Teil habe ich mir der Vollständigkeitshalber und zum eigenen Verständnis so angewöhnt.
Der schadet ja nicht.
Und den Fehler (also das ich (n + 2) scheinbar nicht kürzen darf) sehe ich. Aber wie ich es dann mache, also aus multiplizieren oder noch was anderes sehe ich gerade nicht.

Nochmal zur Überprüfung meiner Wenigkeit:
Wenn in der Klausur steht:
H sei die multiplikative Gruppe von Z_m (m ist prime)
Dann ist das doch das gleiche, als würde dort stehen: H = Z_m \ {0}
oder nicht?

edit:
Nachtrag.
Wenn die Gruppe abelsch wäre, dann wäre es doch egal, ob ich
(ab)^(-1) = b^(-1)a^(-1)
oder
(ab)^(-1) = a^(-1)b^(-1)
schreibe, oder nicht?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aso, naja den kursiven Teil habe ich mir der Vollständigkeitshalber und zum eigenen Verständnis so angewöhnt. Der schadet ja nicht.
naja, doch, irgendwie schon, es ist eben ein anderer beweis. wenn dein prof. etwas gegen widerspruchsbeweise haben sollte (wird er nicht, aber solche leute gibt es), dann wäre es eben einfach kein richtiger beweis.

Zitat:
Und den Fehler (also das ich (n + 2) scheinbar nicht kürzen darf) sehe ich. Aber wie ich es dann mache, also aus multiplizieren oder noch was anderes sehe ich gerade nicht.
einfach irgendwie geschickt (vllt. mit binom. formel) zusammenfassen - du weißt doch was am ende rauskommen soll.

Zitat:
Wenn in der Klausur steht: H sei die multiplikative Gruppe von Z_m (m ist prime) Dann ist das doch das gleiche, als würde dort stehen: H = Z_m \ {0} oder nicht?
ich bezweifle stark, dass jemand das so formulieren würde. wenn du bei sowas nicht weiter weißt kannst du in der klausur auch bestimmt einfach mal nachfragen - also nur wenn irgendein teil der aufgabenstellung unklar oder wirklich falsch wäre.

Zitat:
Wenn die Gruppe abelsch wäre, dann wäre es doch egal, ob ich (ab)^(-1) = b^(-1)a^(-1) oder (ab)^(-1) = a^(-1)b^(-1) schreibe, oder nicht?
ja, natürlich egal, kommutiert doch alles.

lg
Nspace Auf diesen Beitrag antworten »

Nee ganz im Gegenteil: er steht absolut auf solche Gegenbeweise.
Mit der Induktion werde ich das morgen nochmal probieren, denke für heute reicht es.
Vielen Dank für deine Mühe und Zeit schon einmal. smile

Aber nochmal für mich: nur für mein Verständnis: H = Z \ {0} ist demnach nicht dasselbe wie die multiplikative Gruppe H von Z_m (mit m prime)?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber nochmal für mich: nur für mein Verständnis: H = Z \ {0} ist demnach nicht dasselbe wie die multiplikative Gruppe H von Z_m (mit m prime)?

Z\{0} ist überhaupt nichts, zumindest keine gruppe.
du meinst bestimmt aber Z_m\{0}, oder?
beziehst du dich auf den 3. abschnitt in meinem letzten post? ich sehe nämlich grad dass ich da einfach deeinen zweiten satz, den ich da zitiere, überlesen hab; ich bezog mich damit nur auf den ersten.
also: Z_m\{0} ist sozusagen diese gruppe, wenn m prim ist - weil dann nimmt man ja in besagter konstruktion einfach nur die 0 raus. mit der schreibweise ist das was anderes - damit würde man nämlich einfach nur eine menge meinen, für gruppen schreibt man lieber (Z_m)*.
lg
Nspace Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, ich meinte Z_m \ {0}
Gut das ist ein guter Hinweis, bei einer unseren älteren Klausuren stand nämlich multiplikative Gruppe, dieses Jahr stand allerdings in der Übungsaufgaben immer explizit Z_m \ {0}. Man will ja vor lauter Aufregung nicht plötzlich völlig planlos dastehen. smile
Danke für die Klarstellung.
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