Erzeugendensystem

22.02.2013, 12:58

Hansiii

Erzeugendensystem

Meine Frage:
Hallo, folgende Aufgaben:

a) Zeigen Sie dass $\begin{eqnarray*} E = \left\{ 1+x+x^2,1+2x^2,1+3x+x^2,(1+x^2)\right\} \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\leq 2}[x] \end{eqnarray*}$ ist. Beweisen Sie, dass dieses EZS lin. abh. ist. Geben Sie (mit Beweis) eine Teilmenge von E an, die eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\leq 2}[x] \end{eqnarray*}$ ist.

b) Wir betrachten nun die Menge $\begin{eqnarray*} F = \left\{x,1+x^2,2+2x+2x^5\right\} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\leq 5}[x] \end{eqnarray*}$ . Ist das Polynom $\begin{eqnarray*} x+x^2 \end{eqnarray*}$ im span von F enthalten.

Meine Ideen:
zu a)
also ein Erzeugendensystem ist ja eine Anzahl von Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,..,v_k \end{eqnarray*}$ eines K-Vektorraums V mit

$\begin{eqnarray*} Span\left\{v_1,...,v_k\right\} = V \end{eqnarray*}$

Hier sind es eindimensionale Vektoren, aber mich irritiert das $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$

22.02.2013, 13:40

Hansiii

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Ich habe mal folgenden Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Rang = 3

Rg > 2

ist also kein EZS?

22.02.2013, 14:02

klarsoweit

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RE: Erzeugendensystem
Deine Schlußfolgerung ist etwas merkwürdig. Rang = 3 bedeutet, daß du aus der Menge E 3 linear unabhängige Vektoren rausfiltern kannst. Da aber gerade die Dimension von $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\leq 2}[x] \end{eqnarray*}$ gleich 3 ist, kannst du offensichtlich alle Elemente dieses Vektorraums mit den Vektoren aus der Menge E darstellen. Mithin ist E ein Erzeugendensystem. smile

22.02.2013, 14:35

Hansiii

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RE: Erzeugendensystem

Zitat:

Original von klarsoweit
Deine Schlußfolgerung ist etwas merkwürdig. Rang = 3 bedeutet, daß du aus der Menge E 3 linear unabhängige Vektoren rausfiltern kannst. Da aber gerade die Dimension von $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\leq 2}[x] \end{eqnarray*}$ gleich 3 ist, kannst du offensichtlich alle Elemente dieses Vektorraums mit den Vektoren aus der Menge E darstellen. Mithin ist E ein Erzeugendensystem. smile

Stimmt, denn die Monombasis ist ja $\begin{eqnarray*} \left\{1,x,x^2\right\} \end{eqnarray*}$ und damit dim 3. Ich dachte $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ : dim = 2 Hammer

Wenn die Anzahl der lin. Unabh. Vektoren = dim des Vektorraums ist, ist es eine Basis. Ich kann also hier eine Basis mit $\begin{eqnarray*} \left\{1+x+x^2,(1+x)^2,1+2x^2\right\} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \left\{1+x+x^2,1+3x+x^2,1+2x^2\right\} \end{eqnarray*}$ angeben.

der Span = $\begin{eqnarray*} \left\{1+x+x^2,1+3x+x^2,1+2x^2,(1+x)^2\right\} \end{eqnarray*}$ und damit EZS.

Der Beweis der Basis ist ja eg. nur zu zeigen, dass die Vektoren lin. unabh. sind. $\begin{eqnarray*} a(1+x+x^2)+b(x^2+2x+1)+c(1+2x^2) = 0 \Rightarrow a=b=c=0 \end{eqnarray*}$ oder äqu. zur anderen Basis.

22.02.2013, 15:04

klarsoweit

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RE: Erzeugendensystem
Wenn du bei deiner Matrix-Rechnung keine Zeilenvertauschung gemacht hast, kannst du auch direkt die Vektoren des Erzeugendensystems nehmen, die den ersten 3 Zeilen entsprechen.

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