Polynome durch Wurzeln auflösbar? (Galoistheorie)

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nore Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome durch Wurzeln auflösbar? (Galoistheorie)
Hi,


folgende Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die folgenden Polynome nicht durch Wurzelausdrücke auflösbar sind, indem Sie die Galoisgruppe bestimmen:

(a)
(b)....


Ich weiß, dass ein Polynom genau dann durch Wurzelausdrücke auflösbar ist, wenn die Galoisgruppe seines Zerfällungskörpers auflösbar ist. Aber ich weiß nicht, wie ich die Galoisgruppe herausbekomme.

Ich weiß auch, dass die Diskriminante bei einem separablen Polynom Aufschluss darüber gibt, ob die Galoisgruppe in enthalten ist.

Ich weiß leider nicht, welche Untergruppen hat (finde ich auch nicht im Internet) und welche davon transitiv sind. Dann könnte ich wohl mit Hilfe der Diskriminante schon einige ausschließen und ich brauche ja sowieso nur die Gruppen mit mindestens Ordnung 5 betrachten.
Aber kann ich auf diese Weise herausfinden, ob die Galoisgruppe auflösbar ist?

Danke im Vorraus und viele Grüße
David
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt ein paar hinreichende Kriterien dafür, dass die Galoisgruppe eines Polynoms die ganze ist.

Z.b. erzeugen eine Transposition sowie ein -Zykel die ganze .

Versuche also mal zu zeigen, dass die Galoisgruppe von ein 5 Zykel sowie eine Transposition enthält.

Für ersteres ist der Satz von Cauchy interessant.

Für zweiteres betrachte man mal die Anzahl der reellen Nullstellen von f (Zur Not erstmal mit einem Plotter).
nore Auf diesen Beitrag antworten »

Hi tmo,

kann ich in dieser Aufgabe davon ausgehen, dass alle Polynome irreduzibel und separabel sind? Wären sie reduzibel, dann wären sie ja durch Wurzelausdrücke auflösbar und dieser Begriff "durch Wurzelausdrücke auflösbar" ist bei uns im Skript glaube ich überhaupt nur für separable Polynome definiert worden.

Achja: Sind bei so einer Aufgabe immer Polynome über gemeint?


Also probier ich mich mal: Weil irreduzibel ist, ist eine Körpererweiterung von Grad , die im Zerfällungskörper von enthalten sind. Das heißt . Also reicht es nicht nur, die Untergruppen mit Ordnung zu betrachten, sondern sogar nur die, deren Ordnung von geteilt wird.
Dabei habe ich im Skript noch gefunden, dass diese Untergruppen der immer einen -Zykel enthalten. Aber das scheint fast direkt aus dem Satz von Cauchy zu folgen. Also reicht es schon zu zeigen, dass eine Transposition in der Galoisgruppe ist.

Es gibt drei reelle Nullstellen, also zwei komplexe. Vermutlich läuft es darauf hinaus, dass die Vertauschung dieser beiden in der Galoisgruppe enthalten ist.
Für den komplexen Teil des Polynoms gilt: , also heben sich die beiden Imaginärteile genau weg und aus dem zweiten Teil folgt, dass die Realteile genau gleich sind.
Zu zeigen wäre also, wieso das Vertauschen der beiden keine Auswirkungen auf irgendwelche algebraische Gleichungen hat, die die Nullstellen erfüllen. Bin mir gerade aber nicht ganz sicher, wie ich das begründe.


Viele Grüße
David
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Stichwort: Komplexe Konjugation.

Diese ist in jeder Galoisgruppe über Q drin. Die Frage ist nur welche Gestalt sie in ihrer Einschränkung auf den Zerfällungskörper hat.
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