Mithilfe von Nullstellen eine ganzrationale Funktion 3. Grades aufstellen

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22.02.2013, 15:06	Rajeeesh	Auf diesen Beitrag antworten »
Mithilfe von Nullstellen eine ganzrationale Funktion 3. Grades aufstellen Guten Tag, ich melde mich an diesem schönen verschneiten Nachmittag nochmal für eine kurze frage. Die Fragestellung: Geben Sie zwei ganzrationale Funktionen dritten Grades an, die nur die angegebenen Nullstellen haben. a. 0, 2 und 5 b. 4 und -1 c. 3 Ich habe weder bei Google, noch hier im Forum bezüglich dieses Themas etwas gefunden mit einer passenden Erklärung. Dank im Vorraus - ich werde den Thread den ganzen Tag beobachten.
22.02.2013, 15:11	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Fangen wir mal von hinten an... Welche Funktion ersten Grades mit der Nullstelle 3 kennst du? Lg kgV
22.02.2013, 15:13	Rajeeesh	Auf diesen Beitrag antworten »
x-3 würde ich sagen, weil ersten Grades ^1
22.02.2013, 15:16	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt Jetzt eine Funktion dritten Grades daraus machen... Eine Idee, wie man aus $\begin{eqnarray} f(x)=(x-3)^1 \end{eqnarray}$ eine Funktion dritten Grades kriegt, ohne die Nullstellen zu verändern?
22.02.2013, 15:18	Rajeeesh	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x)=(x-3)(x-3)(x-3) \end{eqnarray}$ ? Da bleiben die Nullstellen doch +3 oder irre ich mich dort?
22.02.2013, 15:22	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, stimmt schon so $\begin{eqnarray} f(x)=(x-3)^3 \end{eqnarray}$ Damit hast du die c gelöst. Ähnlich kannst du auch die beiden anderen angehen. Was sagst du zu Aufgabe b? Ideen?
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22.02.2013, 15:25	Rajeeesh	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh ich glaube es wird mir schlüssig... b. $\begin{eqnarray} f(x)=(x-4)^2(x+1)? \end{eqnarray}$ aber wie soll ich das bei a mit der Nullstelle 0 hinbekommen?
22.02.2013, 15:28	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt so Zur a: Welche Funktion ersten Grades hat denn die Nullstelle $\begin{eqnarray} f(x)=0 \end{eqnarray}$ ? Ist viel offensichtlicher als du denkst
22.02.2013, 15:32	Rajeeesh	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x)=x? \end{eqnarray}$ Dann -> $\begin{eqnarray} f(x)=x^3(x-2)^2(x-5)? \end{eqnarray}$
22.02.2013, 15:36	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hast du eine Funktion sechsten Grades gebastelt Denk daran, es darf in einer Multiplikation nicht mehr als drei Mal ein x in erster Potenz dastehen, wenn die Funktion nur dritten Grades sein soll. Was muss also weg? Die Idee mit dem x ist aber goldrichtig
22.02.2013, 15:43	Rajeeesh	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x)=x(x-2)(x-5)? \end{eqnarray}$ ??
22.02.2013, 15:44	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Bingo Hat ja wunderbar geklappt
22.02.2013, 15:59	Rajeeesh	Auf diesen Beitrag antworten »
Besser erklärt als jeder Lehrer! Einfach vielen vielen Dank! Aber wenn du noch ein bissl Zeit hättest, habe ich noch ne Frage. Wie sind bei der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=a(x-b)(x-c) \end{eqnarray}$ die Parameter a,b und c zu whlen, damit $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ die angegebenen Eigenschaften hat? a. Die Nullstellen sind -1 und 3 un der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0/1) Ich würde sagen dass die dritte Nulstelle 0 sei. Also $\begin{eqnarray} f(x)=x(x+1)(x-3)? \end{eqnarray}$ b. Eine Nullstelle ist -2, der Graph ist achsensymetrisch zur y-Achse und verläuft durch den Punkt P(1/6) Da eine Achsensymmetrie zur y-Achse können wir davon ausgehen dass eine zweite Nullstelle bei +2 sei? Weiter komm ich nicht :/
22.02.2013, 16:05	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
ERstmal danke für die Komplimente Freut mich, wenn alles klar ist Zur Aufgabe: Die Dritte Nullstelle kann nicht Null sein, und zwar aus zwei Gründen: 1. Der Funktionswert von Null soll eins sein. Außerdem hast du eine Funktion zweiten Grades (nur zwei x) und damit kann die Funktion nur zwei Nullstellen haben. Demnach hast du den Parameter a falsch bestimmt. Die anderen beiden Parameter stimmen Wie bekommst du nun a? Du weißt, dass gilt: $\begin{eqnarray} f(0)=1 \end{eqnarray}$ Setze also die Parameter b und c ein, wie du es schon getan hast. Wenn x Null wird, was steht dann da? Die b nehmen wir uns danach vor, einverstanden?
22.02.2013, 16:12	Rajeeesh	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x)=(x+1)(x-3) \end{eqnarray}$ da steht nichts weil man die 1 nicht schreiben muss
22.02.2013, 16:15	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
so kannst du das aber nciht stehen lassen... Wenn du für x Null einsetzt, bekommst du nicht wie gefordert eins heraus, sondern -3. Ich mache mal den ersten Schritt, wie ich ihn wollte: $\begin{eqnarray} f(x)=a(x+1)(x-3) \end{eqnarray}$ Du weißt, dass für x=0 die linke Seite 1 wird. Setze das jetzt konkret in die Gleichung ein
22.02.2013, 16:32	Rajeeesh	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komm nicht drauf ... Aufjedenfall ist der Parameter a, ein negativer Wert
22.02.2013, 16:35	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt schon mal Ich mach dir einen weiteren Schritt vor: $\begin{eqnarray} 1=a(0+1)(0-3) \end{eqnarray}$ Das kriegst du jetzt wohl nach a aufgelöst, oder
22.02.2013, 16:43	Rajeeesh	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist einfach Weltklasse! $\begin{eqnarray} f(x)=-1/3(x+1)(x-3) \end{eqnarray}$
22.02.2013, 16:46	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt Nun zur Aufgabe b) Dadurch, dass Achsensymmetrie vorliegt, weißt du schon, dass die Hauptform der Parabel nur gerade Exponenten enthält. Schreib mal die allgemeine Form an, dann überlegen wir uns, was wir darauf anwenden können
22.02.2013, 16:52	Rajeeesh	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen, dass es sich um eine Funktion 4. Grades handelt. $\begin{eqnarray} f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray}$ 2 Nullstellen haben wir schon durch die Achsensymetrie -> $\begin{eqnarray} x=-2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=+2 \end{eqnarray}$ EDIT: $\begin{eqnarray} ax^4+cx^2+d \end{eqnarray}$
22.02.2013, 16:57	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sagte doch schon, dass du wegen der Achsensymmetrie alle Terme mit ungeraden Exponenten aus der Gleichung schmeißen kannst. Die hauptform lautet also: $\begin{eqnarray} f(x)=ax^4+bx^2+c \end{eqnarray}$ Nun haben wir folgende Infos zusammengetragen: $\begin{eqnarray} f(-2)=f(2)=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(1)=6 \end{eqnarray}$ Damit kannst du drei Gleichungen aufstellen und hast ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten, das sich anschließend ohne gröbere Schwierigkeitn lösen lassen müsste... Kannst du die Gleichungen aufstellen?
22.02.2013, 17:03	Rajeeesh	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(-2)=f(2)=0 \end{eqnarray}$ wofür steht das? Für die $\begin{eqnarray} f(1)=6 \end{eqnarray}$ muss ich da $\begin{eqnarray} 1=6x^4+bx^2+c? \end{eqnarray}$
22.02.2013, 17:08	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(-2)=f(2)=0 \end{eqnarray}$ bedeutet einfach $\begin{eqnarray} f(-2)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(2)=0 \end{eqnarray}$ , also, dass die Nullstellen bei -2 und 2 liegen. Deine Gleichung stimmt nicht so ganz... Ich zeig dir mal etwas: $\begin{eqnarray} f(\color{red}x\color{black})=a\color{red}x^4\color{black}+b\color{red}x^2\color{black}+c \end{eqnarray}$ Was muss also bei $\begin{eqnarray} f(\color{green}1\color{black}) \end{eqnarray}$ rechts stehen? Siehst du dann auch, wo die 6 stehen muss, wenn es heißt, dass die 6 dasselbe ist wie $\begin{eqnarray} f(\color{green}1\color{black}) \end{eqnarray}$ ?
22.02.2013, 17:14	Rajeeesh	Auf diesen Beitrag antworten »
**** Okay sehr gut erklärt das erste. So nun zum zweiten... $\begin{eqnarray} f(1)=a1^4+b1^2+c=6 ! \end{eqnarray}$ Matrizen haben wir noch nicht besprochen, aber sollte nicht so Schwer sein oder? Oder eher mit dem Gauß-Verfahren? Edit: Da fehlt noch was lol. $\begin{eqnarray} f(-2)=a(-2)^4+b(-2)^2+c=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(2)=a2^4+b2^2+c=0 \end{eqnarray}$
22.02.2013, 17:16	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht auch ohne Matritzen und Gauß^^, null Problem Stell aber zuerst noch die beiden anderen Gleichungen auf, dann haben wir ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten
22.02.2013, 17:24	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Hoppala, da habe ich grade mal einen Moment geschlafen... Wenn $\begin{eqnarray} f(2)=f(-2) \end{eqnarray}$ , dann haben wir eigentlich nur eine Information- und ein Problem- uns fehlt eine Variable. Entschuldige bitte meinen Aussetzer. Wir haben es mit einer Funktion zweiten Grades zu tun, die Form lautet also: $\begin{eqnarray} f(x)=ax^2+b \end{eqnarray}$ und die Gleichungen sind $\begin{eqnarray} f(1)=6=a+b \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} f(2)=2^2a+b=0 \end{eqnarray}$ Damit sind wir dort, wo wir hinmüssen. Jetzt musst du lediglich dieses kleine Gleichungssystem lösen. Ansätze?
22.02.2013, 17:31	Rajeeesh	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergiss nicht, wir sind alles nur Menschen, jeder macht Fehler Wenn $\begin{eqnarray} f(2)=f(-2) \end{eqnarray}$ sei, muss es dann nicht: $\begin{eqnarray} a2^2+b=a(-2)^2+b? \end{eqnarray}$ Die erste Gleichung ist ja logisch.
22.02.2013, 17:38	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Gleichung stimmt schon, aber wenn du sie ausrechnest, wirst du auf 0=0 kommen, was dir nicht recht weiterhilft Worauf ich meine Gleichung aufbaue, ist: $\begin{eqnarray} [f(2)=0 \end{eqnarray}$ . Natürlich könntest du acuh $\begin{eqnarray} f(-2)=0=(-2)^2a+b \end{eqnarray}$ nehmen, ich lasse Terme mit Minus aber wegen Fehlergefahr recht gerne weg Aber zurück zur eigentlichen Frage: Hast du eine Idee, wie du das lösen könntest? Wie habt ihr denn Gleichungssysteme bisher gelöst?
22.02.2013, 17:50	Rajeeesh	Auf diesen Beitrag antworten »
Entweder mit dem Taschenrechner, was ich persönlich einfach nur hust scheiße hust finde. Kann man nicht die erste Gleichung mit der zweiten subtrahieren, dann fällt $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ weg und können diese nach $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ auflösen und dann in $\begin{eqnarray} 1 v 2 \end{eqnarray}$ einsetzen? Edit: Geht gar nicht Edit2: oder doch... Edit3: also $\begin{eqnarray} a=4/3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=14/3 \end{eqnarray}$ Edit4: Der Punkt P hat (1/-6) !
22.02.2013, 17:56	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Hört sich gut an, mach mal
22.02.2013, 18:09	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann lass mich mal auf deine Edits reagieren^^ Ob 6 oder -6 ändert an der Vorgehensweise rein gar nix. Einfach weitermachen Mit deinen Ergebnissen bin ich so nicht einverstanden
22.02.2013, 18:09	Rajeeesh	Auf diesen Beitrag antworten »
Duuuuu, irgendwo müssen wir uns verhauen haben ... Weil schau dir mal den Graphen an Wir wissen, dass $\begin{eqnarray} b=-6 \end{eqnarray}$ sein MUSS. Also wir haben ja als Grundformel $\begin{eqnarray} f(x)=ax^2+b \end{eqnarray}$ , fehlt uns da nicht eine Variable? -> $\begin{eqnarray} f(x)=ax^2+bx+c? \end{eqnarray}$
22.02.2013, 18:15	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Nö, wir sind da richtig unterwegs... b ist nicht -6 Und du scheinst zu vergessen, dass wir ungerade Exponenten rausschmeißen dürfen- Achsensymmetrie Rechne am Besten noch mal nach...
22.02.2013, 18:19	Rajeeesh	Auf diesen Beitrag antworten »
aber $\begin{eqnarray} f(1)= -6 ? \end{eqnarray}$
22.02.2013, 18:21	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Das schon Jetzt einfach diese beiden Gleichungen subtrahieren: $\begin{eqnarray} 0=4a+b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -6=a+b \end{eqnarray}$ Dadurch fliegt das b raus und du kannst a bestimmen. Dann noch einsetzen und du hast b edit: muss grad mal weg (essen)
22.02.2013, 18:36	Rajeeesh	Auf diesen Beitrag antworten »
Man man man... Wieso einfach machen wenn's auch schwer geht $\begin{eqnarray} f(x)=2x^2-8 \end{eqnarray}$ Hab mich da bissl verhauen, wahr heute alles bissl zuviel Mathe und zuwenig Schlaf haha.. Vielen vielen dank an dich, wenn man so einen guten Helfer hier im Forum hat, macht Mathe gleich doppelt soviel Spaß und gibt immer neue Anreize mehr zu lernen, um einmal selber bei solchen Aufgaben zu helfen. Ich möchte nämlich mal Mathe und Informatik studieren, aber das ist nun nicht das Thema, sondern du bist der Held dieser Debatte
22.02.2013, 19:08	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt so eindeutig Und vielen Dank für das viele Lob Schönen Abend noch

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