Teleskop Reihe

23.02.2013, 15:04

reihe

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Teleskop Reihe

Meine Frage:
Hallo ich habe bei so einem Aufgabentyp immer probleme:

Untersuchen sie folgende Teleskopreihe auf konvergenz und berechnen sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty ((n+1)^{n+1} -n^n ) \end{eqnarray*}$

Ich hab die reihe auch noch mit für die ersten 3 Glieder aufgeschrieben aber ich weiss nicht wie ich weiter vorgehen soll.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty ((2)^{2} -1^2 )* ( 3^3 - 2^2 ) * ( 4^4 - 3^3 ) * ( 5^5 - 4^4) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
gepostet

23.02.2013, 15:31

reihe

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Ich glaube so müsste es richtig lauten.

Aber weiss jemand was ich weiter machen soll?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty ((2)^{2} -1^2 )+ ( 3^3 - 2^2 ) + ( 4^4 - 3^3 ) + ( 5^5 - 4^4) = (3) + (23) + .... \end{eqnarray*}$

23.02.2013, 15:44

HAL 9000

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Das Kennzeichen von Teleskopreihen ist doch, dass deren Partialsummen (die man dann auch Teleskopsummen nennt) einfach darstellbar sind. Daher:

1.Bestimme den Wert der Partialsumme $\begin{eqnarray*} s_k=\sum_{n=1}^k \left( (n+1)^{n+1}-n^n \right) \end{eqnarray*}$ , natürlich in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

2.Konvergiert diese Partialsumme $\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ ?

23.02.2013, 15:46

reihe

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Ich hab ja versucht den wert der teleskopreihe zu bestimmen in meinem obigen Ansatz.

Oder we soll ich das genau machen?

23.02.2013, 15:58

HAL 9000

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Ok. bleiben wir mal bei

$\begin{eqnarray*} s_4 = ({\color{blue}2^{2}} -1^1 )+ ( {\color{red}3^3} - {\color{blue}2^2} ) + ( {\color{green}4^4} - {\color{red}3^3} ) + ( 5^5 - {\color{green}4^4}) \end{eqnarray*}$ .

Da heben sich doch einige +-Werte gegenseitig auf, am Ende bleibt

$\begin{eqnarray*} s_4 = 5^5 - 1^1 \end{eqnarray*}$

übrig. Zufall? Oder doch etwas mehr, typisch für Teleskopsummen? Denk mal drüber nach.

23.02.2013, 16:24

reihe

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Naja eigentlich typisch.

Wie gehe ich denn jetzt weiter vor?

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23.02.2013, 16:27

HAL 9000

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Wenn ich etwas hasse, dann Wiederholungen:

Zitat:

Original von HAL 9000
1.Bestimme den Wert der Partialsumme $\begin{eqnarray*} s_k=\sum_{n=1}^k \left( (n+1)^{n+1}-n^n \right) \end{eqnarray*}$ , natürlich in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

2.Konvergiert diese Partialsumme $\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ ?

Das sollte doch reichen!!!

23.02.2013, 17:00

reihe

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Den wert der Partialsumme haben wir doch gerade ausgerechnet oder?

23.02.2013, 17:28

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Also genau genommen hast du noch gar nichts gerechnet.
HAL 9000 hat dir s_k für k=4 vorgerechnet. Du darfst jetzt s_k allgemein berechnen.

23.02.2013, 18:14

Reihe

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$\begin{eqnarray*} (k+1)^{k+1} -k^k) \end{eqnarray*}$

Das wäre das doch für k oder?

23.02.2013, 18:22

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du hast nur den letzten Summanden von $\begin{eqnarray*} s_k=\sum_{n=1}^k \left( (n+1)^{n+1}-n^n \right) \end{eqnarray*}$ aufgeschrieben.

Wenn du das Prinzip der Teleskopreihe noch nicht durchschaut hast, schreib dir s_5, s_6, s_7 nach dem Muster auf, das HAL 9000 für s_4 benutzt hat:
$\begin{eqnarray*} s_4 = ({\color{blue}2^{2}} -1^1 )+ ( {\color{red}3^3} - {\color{blue}2^2} ) + ( {\color{green}4^4} - {\color{red}3^3} ) + ( 5^5 - {\color{green}4^4}) \end{eqnarray*}$ .

23.02.2013, 18:34

Reihe

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Ja ich hab's mir mal aufgeschrieben , es kürzt sich immer mal wieder was weg.

Aber was sagt mir das genau ?

23.02.2013, 18:49

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Dann schreib doch bitte hier auf, was jeweils übrig bleibt.

23.02.2013, 20:28

reihe

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Das bleibt übrig .

Ich habe einfach nach halls ansatz die reihe weiter geführt.

Kann es sein das einfach nur -1 übrig bleibt?

24.02.2013, 17:24

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HAL 9000 hat vorgerechnet, dass $\begin{eqnarray*} s_4 = 5^5 - 1^1 \end{eqnarray*}$
Du hast ausgerechnet, dass $\begin{eqnarray*} s_9 = 10^{10} - 1^1 \end{eqnarray*}$
Wie du daraus vermutest, dass einfach nur -1 übrig bleibt, ist mir schleierhaft.

Vielleicht hilft das
$\begin{eqnarray*} s_{\textcolor{red}{4}} = \textcolor{red}{5}^{\textcolor{red}{5}} - 1^1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_{\textcolor{green}{9}} = \textcolor{green}{10}^{\textcolor{green}{10}} - 1^1 \end{eqnarray*}$
Hast du jetzt eine Idee, wie $\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ aussehen könnte?

24.02.2013, 17:43

reihe

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Wie kriege ich den sk raus?

24.02.2013, 17:54

URL

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Es hat schon einen Grund, warum ich Farben verwendet habe

Zitat:

Original von URL
$\begin{eqnarray*} s_{\textcolor{red}{4}} = \textcolor{red}{5}^{\textcolor{red}{5}} - 1^1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_{\textcolor{green}{9}} = \textcolor{green}{10}^{\textcolor{green}{10}} - 1^1 \end{eqnarray*}$

Zwischen dem Index auf der linken Seite und dem Summanden auf der rechten gibt's einen sehr einfachen Zusammenhang. Den Zusammenhang verwendet man, um s_k aufzuschreiben.

24.02.2013, 18:26

reihe

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Das problem ist ich habe da sau schwierigkeiten das allgemein zu schreiben.

Man könnte irgendwie so beginnen:

(-1)^k *(k)^k+1

???

24.02.2013, 19:39

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Du bist auf dem richtigen Weg.

Du solltest eine Beziehung zwischen dem Index und dem (farbigen) Summanden herstellen.
Probier doch deine Formel einfach mal aus (im Exponenenten deiner Formel habe ich Klammern gesetzt)

k=4
$\begin{eqnarray*} (-1)^k *(k)^{(k+1)}= (-1)^4 *(4)^5=4^5 \end{eqnarray*}$
Wegen $\begin{eqnarray*} s_{\textcolor{red}{4}} = \textcolor{red}{5}^{\textcolor{red}{5}} - 1^1 \end{eqnarray*}$ sollte $\begin{eqnarray*} 5^5 \end{eqnarray*}$ herauskommen.

k=9
$\begin{eqnarray*} (-1)^k *(k)^{(k+1)}= (-1)^9 *(9)^{10}= -\ 9^{10} \end{eqnarray*}$
Wegen $\begin{eqnarray*} s_{\textcolor{green}{9}} = \textcolor{green}{10}^{\textcolor{green}{10}} - 1^1 \end{eqnarray*}$ sollte $\begin{eqnarray*} 10^ {10} \end{eqnarray*}$ herauskommen.

Zwei kleine Änderungen in deiner Formel und du hast diese Hürde genommen.

24.02.2013, 23:50

reihe

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$\begin{eqnarray*} (-1)^k *(k+1)^{k+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es stimmen oder?

25.02.2013, 19:46

URL

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Zitat:

Original von URL
Probier doch deine Formel einfach mal aus

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