Äquivalenzrelation Beweis |
| 23.02.2013, 16:22 | Felerian | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Äquivalenzrelation Beweis Hallo, Ich soll folgende Aufgabe lösen an der ich nun schon lange festsitze: Es sei R eine binäre Relation über M und deltaM wie üblich die Diagonale über M. Beweisen Sie: R ist Äquivalenzrelation genau dann, wenn deltaM Teilmenge von R ist und R°R^-1 Teilmenge von R ist. Meine Ideen: Beweisen muss ich jetzt: R ist Äquivalenzrelation (reflexiv, symmetrisch, transitiv) -> deltaM Teilmenge von R und R°R^-1 Teilmenge von R und deltaM Teilmenge von R und R°R^-1 Teilmenge von R -> R ist Äquivalenzrelation (reflexiv, symmetrisch, transitiv) Die erste Richtung bekomm ich noch hin: 1. Da deltaM Teilmenge von R ist, gilt für alle x element M: (x,x) element deltaM und damit auch element R. Damit ist R reflexiv 2. Sei (x,z) e R^R^-1. Dann existiert ein y element M so dass gilt: (x,y) e R und (y,z) e R^-1. Da R symmetrisch ist (per Vorraussetzung) ist (y,x) e R und (y,z) e R und (z,y) e R. Da R auch transitiv ist: Aus (x,y) e R und (y,z) e R folgt (x,z)e R Also ist R^R^-1 Teilmenge von R und diese Richtung ist fertig Jetzt kommt das Problem: deltaM Teilmenge von R und R°R^-1 Teilmenge von R -> R ist Äquivalenzrelation (reflexiv, symmetrisch, transitiv) Reflexivität krieg ich hin, das Problem hab ich mit den anderen beiden (symmetrisch, transitiv) Ich komme nur bis hier: Sei (x,z) e R°R^-1. Dann exisitert ein y e M, so dass gilt: (x,y) e R und (y,z)e R^-1. Aus (x,y)e R folgt (y,x) e R^-1 und aus (y,z) e R^-1 folgt (z,y) e R (durch die definition der inversen Relation. Aus (z,y) e R und (y,x) e R^-1 folgt dann (z,x) e R°R^-1 Damit habe ich aber nur gezeigt das R°R^-1 symmetrisch ist, nicht komplett R. Wie mache ich weiter? Vielen Dank schonmal PS: R°S ist das Relationenprodukt oder Hintereinanderausführung |
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