Vektorfunktion über den Einheitskreis integrieren

24.02.2013, 14:08	Ingi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorfunktion über den Einheitskreis integrieren Meine Frage: Ich stehe gerade vor folgender Aufgabe: Betrachtet sei die Vektorfunktion $\begin{eqnarray} \vec{f}=\alpha \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie $\begin{eqnarray} \int \! \vec{f} \, d\vec{r} \end{eqnarray}$ auf dem Einheitskreis mit Mittelpunkt im Ursprung. (Achtung: In der Aufgabenstellung steht ein Integral mit Kringel) Meine Ideen:* Da man über den Einheitskreis integrieren muss würde ich versuchen die Funktion in Polarkoordinaten zu tranformieren und dann den Radius von 0 bis 1 und dem Winkel von 0 bis $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ integrieren. Nur wie geht das bei der (Vektorwertigen)-funktion ? Was mich auch irritiert ist dass da steht man soll über $\begin{eqnarray} d\vec{r} \end{eqnarray}$ integrieren. Ist $\begin{eqnarray} \vec{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ?
24.02.2013, 15:27	Ingi	Auf diesen Beitrag antworten »
falls jemand fragen hat zur aufgabenstellung könnt ihr mich ruhig fragen ich hoffe mir kann jemand helfen
25.02.2013, 09:57	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Integral $\begin{eqnarray} W=\oint \vec f d\vec r \end{eqnarray}$ kann man als mechanische Arbeit interpretieren (Arbeit=Kraft mal Weg), die entlang des Kreises gegen das Kraftfeld $\begin{eqnarray} \vec f \end{eqnarray}$ verrichtet wird. Die Kraft $\begin{eqnarray} \vec f=\alpha\cdot (x\|y) \end{eqnarray}$ zeigt überall in Richtung des Radius und steht somit überall senkrecht auf der Kreislinie. Folglich wird keine Arbeit verrichtet und das Integral verschwindet. Versuche mal, dies durch Rechnung zu bestätigen.
25.02.2013, 13:32	Ingi	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vielen dank für die Antwort. Nur leider kann ich damit nicht viel anfangen. Ich kann mir vorstellen dass $\begin{eqnarray} \vec{f}=\alpha \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ so ausieht wie ein Stern(der in alle Richtungen zeigt) mit Mitte im Ursprung und dass wenn man dann über den Einheitskreis integriert nix mitnimmt weil die Kraft f den Einheitskreis immer rechtwinkelig schneidet. Ich weiß nur überhaupt nicht wie es durch eine Rechnung beweisen kann. kannst du mir da helfen ?
25.02.2013, 17:14	Dummy-Cool	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie muss dein r aussehen, damit es eine Kreisbahn beschreibt?
25.02.2013, 17:21	Ingi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht ganz was du meinst.
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26.02.2013, 14:44	Ingi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab da was gefunden wie man es rechnerisch beweisen könnte: Das ebene Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec f (x; y) \end{eqnarray}$ mit den skalaren Komponenten $\begin{eqnarray} Fx=\alphax \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Fy=\alphay \end{eqnarray}$ erfüllt die Integrabilitätsbedingung: $\begin{eqnarray} \frac {dFx} {dy} =\frac {dFy} {dx}=0 \end{eqnarray}$ Daher verschwindet das Linienintegral $\begin{eqnarray} \oint_C \vec f d\vec r=\oint_C \begin{pmatrix} \alphax \\ \alphay \end{pmatrix} d\vec r=\oint_C (Fx dx + Fy dy) \end{eqnarray}$ für jede geschlossene Kurve C. In diesem Fall ist C der Einheitskreis. Kann das jemand bestätigen ?
28.02.2013, 09:53	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht. Man kann auch mit folgendem Satz argumentieren: Wenn eine skalare Potenzialfunktion V existiert, deren Gradient gerade das Vektorfeld ist, also $\begin{eqnarray} \nabla V=\alpha \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , dann verschwindet jedes geschlossene Kreisintegral im zugehörigen Vektorfeld $\begin{eqnarray} \nabla V \end{eqnarray}$ . Für dein Vektorfeld lautet diese Potenzialfunktion $\begin{eqnarray} V=\tfrac{1}{2}\alpha\cdot (x^2+y^2) \end{eqnarray}$ . (Rechne diesen Gradienten mal aus!) Dieser Satz ist gleichbedeutet mit dem Gelten der Integrabilitätsbedingung.

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