Polynomfunktion, orthogonale Familie

27.02.2013, 23:53

wolfgang-e

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Polynomfunktion, orthogonale Familie

Meine Frage:
Hat bei dieser Aufgabe irgendwer Ideen, Vorschläge, Ansätze?

Meine Ideen:
Zur Aufgabe (a):
Ich weiß zwar, was eine orthogonale Familie ist, aber diese Fragestellung hier verstehe ich überhaupt nicht.
(b) Habe versucht verschiedene Polynome zu subtrahieren, komme aber auf keinen grünen Zweig!?

28.02.2013, 14:15

Dustin

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Hallo wolfgang-e,

ich versuch dir jetzt mal soweit zu helfen, dass klar wird, worum es geht.

Die Gleichung bei Aufgabe a) soll ja für k=0,1,2 und 3 gelten.
Für k=0 bedeutet dies
$\begin{eqnarray*} \mathbb R <f_0> = \mathbb R <X^0> \end{eqnarray*}$
d.h. die gesuchte Funktion $\begin{eqnarray*} f_0 \end{eqnarray*}$ soll den Unterraum von V aufspannen, der nur Funktionen vom Grad 0 enthält. Wenn du das verstanden hast, ist es sehr einfach, eine solche Funktion $\begin{eqnarray*} f_0 \end{eqnarray*}$ anzugeben.

Für k=1 lautet die Forderung
$\begin{eqnarray*} \mathbb R <f_0,f_1> = \mathbb R <X^0,X^1> \end{eqnarray*}$
Also soll $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ so gewählt werden, dass es zusammen mit der bereits gefundenen Funktion $\begin{eqnarray*} f_0 \end{eqnarray*}$ bereits alle Funktionen von Grad kleinergleich 1 abdeckt. Zudem soll f1 senkrecht auf f0 stehen (da wir eine orthogonale Familie brauchen), d.h.
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! f_0(x)f_1(x) \, dx =0 \end{eqnarray*}$ soll gelten. Daraus kannst du dir eine passende Funktion f1 basteln usw.

Vielleicht hilft dir das ja schon weiter. Wenn nicht, schreib bitte auf jeden Fall hin, was du dir schon gedacht hast, damit wir näher darauf eingehen können! smile

smile

Viele Grüße Dustin

28.02.2013, 14:32

wolfgang-e

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Danke schon mal.
Ich hätte die Funktionen dann so aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} f_0 = a , f_1 = a+bx, f_2 = a+bx+cx^2, f_3 = a+bx+cx^2+dx^3 \end{eqnarray*}$
Das Problem wird dann wohl sein, die Koeffizienten so zu wählen, dass die Funktionen eine orthogonale Familie bilden.

28.02.2013, 14:37

wolfgang-e

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Habe nochmal nachgedacht und bin auf ein anderes Ergebnis gekommen.
Ich denke die Funktionen dürften so ausschauen:
$\begin{eqnarray*} f_0 = a , f_1 = bx, f_2 = cx^2, f_3 = dx^3 \end{eqnarray*}$

28.02.2013, 14:46

Dustin

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Zitat:

Danke schon mal. Ich hätte die Funktionen dann so aufgestellt: $\begin{eqnarray*} f_0 = a , f_1 = a+bx, f_2 = a+bx+cx^2, f_3 = a+bx+cx^2+dx^3 \end{eqnarray*}$ Das Problem wird dann wohl sein, die Koeffizienten so zu wählen, dass die Funktionen eine orthogonale Familie bilden.

Richtig! Wobei du die zusätzliche Freiheit hast, alle deine a's verschieden wählen zu dürfen, genauso die b's, c's und d's. Jetzt fang doch mal zB so an, dass du f0 und f1 so aufstellst, dass sie senkrecht aufeinander stehen.

Zitat:

Habe nochmal nachgedacht und bin auf ein anderes Ergebnis gekommen. Ich denke die Funktionen dürften so ausschauen: $\begin{eqnarray*} f_0 = a , f_1 = bx, f_2 = cx^2, f_3 = dx^3 \end{eqnarray*}$

Falsch, das bildet keine orthogonale Familie.

28.02.2013, 14:57

wolfgang-e

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Beim Orthogonalisieren tue ich mir schwer. Wie wäre es mit:
$\begin{eqnarray*} <br /> f_0: \forall x \in [0,1/4]:f_0(x)=0\\<br /> f_1: \forall x \in [1/4,1/2]:f_1(x)=0\\<br /> f_2: \forall x \in [1/2,3/4]:f_2(x)=0\\<br /> f_3: \forall x \in [3/4,1]:f_3(x)=0<br /> \end{eqnarray*}$

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28.02.2013, 15:12

Dustin

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Die Nullfunktion spannt doch keinen Raum auf, du keks Big Laugh

Big Laugh

So leicht gehts nun auch wieder nicht.

Wie hängt denn Orthogonalität mit dem Skalarprodukt zusammen?

28.02.2013, 15:13

Dustin

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Außerdem sind ALLE vier Funktionen für ALLE x€[0;1] definiert!

28.02.2013, 15:19

wolfgang-e

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Nun ja, die Funktionen müssen paarweise zueinander orthogonal stehen, das heißt:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! f_j(x)f_k(x) \, dx =0 \end{eqnarray*}$
muss gelten für $\begin{eqnarray*} 0 \leq j,k \leq 3 \end{eqnarray*}$ .
Mir wäre eben eingefallen, die Funktionswerte teilweise 0 zu setzten um das zu erreichen, leider weiß ich hier jedoch nicht weiter.

28.02.2013, 15:25

Dustin

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Du hast doch bereits Ansätze für deine Funktionen. Setz doch zB mal die Ansätze für f0 und f1 ins Integral ein, rechne es aus und bestimme damit mögliche Funktionen für f0 und f1.

28.02.2013, 15:27

wolfgang-e

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Wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} f_0=1; f_1=1-2x \end{eqnarray*}$

28.02.2013, 15:29

Dustin

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Genau. Und jetzt bestimmt du auf die gleiche Art f2 und f3!

28.02.2013, 15:37

wolfgang-e

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$\begin{eqnarray*} f_2=1-6x+6x^2 \end{eqnarray*}$
Die dritte könnte jetzt etwas aufwendiger werden.
Hast du schon einen Tipp für Teil b, der sieht echt schwer aus?

28.02.2013, 15:43

Dustin

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Prinzip verstanden Freude

Freude

Tipp für b): Ansatz für die gesuchte Funktion g hinschreiben, ||f-g|| mithilfe des Skalarprodunkts berechnen und minimieren (mit Differenzialrechnung).

28.02.2013, 17:17

wolfgang-e

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Stimmt
$\begin{eqnarray*} f_3=-1+12x-30x^2+20x^3 \end{eqnarray*}$
?
Zur Aufgabe (b):
Hier habe ich diesen Ansatz benützt, wobei ich für f die gegebene Funktion eingesetzt habe und für g die allgemeine Form mit dem Grad 2.
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\int_0^1 \! (f(x)-g(x))^2 \, dx} \end{eqnarray*}$
Aber hier komme ich nur auf einen komplizierten Wurzelausdruck??

28.02.2013, 17:27

Dustin

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f3 passt

Freude

(Ich bin mir nur gerade nicht hundertprozentig sicher, ob die einzelnen Funktionen bei einer orthogonalen Familie auch normiert sein müssen. Wenn ja, wäre das ggf. noch zu erledigen.)

Lass die Wurzel einfach weg und minimiere nur den Radikanden. Da die Wurzelfkt. streng monoton wächst, ist das äquivalent.

28.02.2013, 17:45

wolfgang-e

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Ich denke nicht, dass ich die Funktionen normieren muss, sonst wären sie ja eine Orthonormalfamilie und ich brauche nur eine Orthogonalfamilie.
Bei (b) komme ich an dieser Stelle nicht weiter:
$\begin{eqnarray*} ||f-g||^2=(-a-b-c-1)*\left(\frac{11}{6}-2a-b+\frac{2c}{3} \right) \end{eqnarray*}$

28.02.2013, 17:52

Dustin

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OK, also vorausgesetzt, das stimmt bis dahin (habs nicht nachgeprüft, sieht aber gut aus, 3 Unbekannte passt auf jeden Fall und auch die Form), dann musst du das jetzt nach a,b und c minimieren, d.h. die Ableitung nach a, b und c muss jeweils Null ergeben. Das führt dich auf ein lineares Gleichungssystem für a,b,c mit drei Gleichungen.

28.02.2013, 17:58

wolfgang-e

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Ich habe noch nie etwas minimiert und wüsste auch nicht, was das mit Ableitungen zu tun haben soll?!
Ist das nicht viel zu aufwendig, die Gleichung nach a, b, c abzuleiten und dann wieder aufzulösen?

28.02.2013, 18:01

Dustin

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Ich muss jetzt erstmal los, bin heute Abend evtl. nochmal on. Hoffe ich konnte dir schonmal weiterhelfen smile

smile

Viele Grüße Dustin

28.02.2013, 18:02

Dustin

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Tja, es geht eben nicht anders. Aber du weißt mit absoluter Sicherheit schon, dass Extrema was mit Ableitungen zu tun haben xD

28.02.2013, 20:44

Dustin

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Ich habs nachgeprüft und bekomme etwas anderes für ||f-g||² raus.

Hast du so gerechnet?

$\begin{eqnarray*} ||f-g||²=\int_0^1 \! (f(x)-g(x))² \, dx =\int_0^1 \! ((1+2x-x²-3x³)-(a+bx+cx²))² \, dx =... \end{eqnarray*}$ ?

Und natürlich hast du schon mal was minimiert. Minimieren bedeutet das Minimum berechnen, sprich Extrema berechnen, und dazu wird die 1. Ableitung gebildet und =0 gesetzt. Hier bekommst du halt einen Ausdruck raus, der von drei Unbekannten abhängt, deswegen bildest du dann die (partiellen) Ableitungen nach a, b und c und setzt jede davon =0, was wie gesagt auf ein lineares Gleichungssystem führt.

28.02.2013, 20:55

wolfgang-e

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Dann habe ich mich wohl verrechnet. Hast du alles ausquadriert und dann integriert?
Auf was kommst du dann schlussendlich? Werde es morgen noch einmal versuchen.

28.02.2013, 21:08

Dustin

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Ich hab das, was ich eben gepostet hab, in wolfram alpha eingehackt und der kriegt was anderes raus als du Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielleicht hast du aber auch die Variablen anders bezeichnet als ich?

Aber Hauptsache ist sowieso, dass du das Grundprinzip verstehst. Verstehst du denn jetzt, wie das mit dem Minimieren funktioniert?

01.03.2013, 12:38

wolfgang-e

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Komme jetzt auf:
$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{17}{20}+\frac{19}{5}x-\frac{11}{2}x^2 \end{eqnarray*}$
Danke für deine Hilfe!
Hoffe das Ergebnis passt.

01.03.2013, 23:54

Dustin

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Genau das hab ich auch Freude

Freude

Gern geschehen smile

smile

VG Dustin

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