Definitionsbereich Matrix

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28.02.2013, 18:25	Mr Matrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Definitionsbereich Matrix Meine Frage: Hallo zusammen Mich würde der Definitionbereich von n interessieren $\begin{eqnarray} A^{n}=QJ^{n} Q^{-1} \end{eqnarray}$ (J=Jordan Normalform) Hier kann man für n die natürlichen Zahlen (mit Null) und die Kehrwerte der natürlichen Zahlen einsetzen $\begin{eqnarray} A^{n}=QD^{n} Q^{-1} \end{eqnarray}$ (D=Diagonalmatrix) Hier kann man zusätzlich noch negative ganze Zahlen einsetzen dh man kann mit n = -1 auch die Inverse berechnen Stimmt das alles? Danke und Viele Grüße Meine Ideen: siehe oben
28.02.2013, 22:39	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definitionsbereich Matrix Wenn alle Einträge von $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ von Null verschieden sind (d.h. $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist invertierbar), kannst du tatsächlich jede ganze Zahl für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ einsetzen. Generell auch immer jede positive reelle Zahl. Sind außerdem alle Eigenwerte positiv, kannst du sogar jede reelle Zahl für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ einsetzen. Für eine Diagonalmatrix $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ entspricht das dem Potenzieren jedes Diagonaleintrages, für Jordan-Normalformen kann man $\begin{eqnarray} f(J) \end{eqnarray}$ ähnlich definieren, ein Jordan-Block $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\lambda&1&0&\cdots&0\\\vdots&&\ddots&&\vdots\\0&&\cdots&\lambda&1\\0&&\cdots&&\lambda\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wird dabei zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}f(\lambda)&f'(\lambda)&\frac1{2!}f''(\lambda)&\cdots&\frac1{n!}f^{(n)}(\lambda)\\\vdots&&&&\vdots\\0&&\cdots&f(\lambda)&f'(\lambda)\\0&&\cdots&&f(\lambda)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .
01.03.2013, 16:25	Mr Matrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und Danke für die Antwort 1) Es gibt keinen wesentlichen Unterschied zwischen $\begin{eqnarray} A^{n}=QJ^{n} Q^{-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^{n}=QD^{n} Q^{-1} \end{eqnarray}$ Bei J ist der Rechenaufwand etwas höher 2) Man kann immer J schreiben auch wenn man eine Diagonalmatix hat 3) $\begin{eqnarray} f(\lambda )=\lambda ^{n} \end{eqnarray}$ Stimmen die Aussagen soweit? geg: A; ges: B mit B^2=A Lös: $\begin{eqnarray} B=QJ^{\frac{1}{2} } Q^{-1} \end{eqnarray}$ Frage Ist dieses B jetzt die einzige Lösung oder gibt es noch weitere? Gruß
01.03.2013, 16:28	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Aussage drei: Ja, wenn du $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ so definierst. Die anderen stimmen so; die Diagonalmatrix ist halt ein netter Spezialfall. Zu der Wurzel: Nein, die ist nicht eindeutig. Du könntest z.B. auch $\begin{eqnarray} -B \end{eqnarray}$ betrachten, es gibt aber auch viel mehr Möglichkeiten.
01.03.2013, 16:43	Mr Matrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie meinst du das mit dem definieren? Wenn n = -1 dann muß doch $\begin{eqnarray} f(\lambda) =\frac{1}{\lambda } \end{eqnarray}$ sein oder n = 2 $\begin{eqnarray} f(\lambda) =\lambda ^{2} \end{eqnarray}$ Oder geht das noch anders?
01.03.2013, 16:47	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest sogar $\begin{eqnarray} f(\lambda)=\sin\lambda \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f(\lambda)=\mathrm e^{\lambda+\sqrt\lambda} \end{eqnarray}$ definieren
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01.03.2013, 17:05	Mr Matrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe aber das versteh ich leider nicht Wenn ich A^(-1) mit Hilfe von J suche muß ich doch $\begin{eqnarray} f(\lambda) =\frac{1}{\lambda } \end{eqnarray}$ nehmen Oder? Dann noch was Du hast geschrieben die Diagonalmatrix ist halt ein netter Spezialfall Ist es nicht so,daß die Diagonalmatrizen die Regel sind und die Jordanformen die Ausnahmen?
01.03.2013, 17:07	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion stimmt so, wenn du die Inverse suchst. Und zunächst einmal hat jede (quadratische) Matrix (über $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ ) eine Jordan-Normalform. Aber nicht jede Matrix ist diagonalisierbar.
01.03.2013, 17:13	Mr Matrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antworten

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