Topologie (Gruppenalgebra: Das Inverse)

01.03.2013, 14:42

lagrange92

Topologie (Gruppenalgebra: Das Inverse)

Meine Frage:
Wenn ihr $\begin{eqnarray*} a+b \alpha \end{eqnarray*}$ betrachtet mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ . Hier will man jetzt das Inverse durch den Ausdruck $\begin{eqnarray*} (a+b \alpha)*(x+y \alpha)= \pm 1 \end{eqnarray*}$ bestimmen, als Lösungen sind $\begin{eqnarray*} x=\frac{a}{a^2-b^2} \wedge y=\frac{b}{a^2-b^2} \end{eqnarray*}$ gegeben.

Meine Ideen:
Ich würde hier ausmultiplizieren und dann weis ich nicht mehr weiter, weil das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ stört und ich nicht genau weis, ob und wenn ja wo, ich die 3. binomische Formel für den Nenner anwenden muss.

01.03.2013, 14:51

captain obvious

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wie definierst du/ihr das Produkt einer reellen Zahl mit einem Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/ 2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?

Dann erster Satz scheint auch irgendwie unvollständig zu sein.

01.03.2013, 15:09

lagrange92

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben das ganze mit Spiekarten eingeleitet und hier haben wir gesagt, dass wir die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ als "Fremdlinge", also nicht als Teil von von unserem Ausdruck betrachten, wie bei den imaginären Zahlen die Imaginäreeinheit. Mein Problem liegt jetzt auch darin, wie z.B. $\begin{eqnarray*} \alpha ^2 \end{eqnarray*}$ zu definieren wäre. Ein Koeffizientenvergleich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt, da $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , hier liegt meine Vertändnisschwierigkeit, denn das Ausmultiplizieren folgt nach Definition dem Distributivgesetz, aber ich weis nicht, wie ich auf x und y kommen soll.
Fehlt noch eine Info?

01.03.2013, 15:22

captain obvious

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Das mag dir vielleicht klar erscheinen (oder auch nicht), für einen Außenstehenden ist das meiner Meinung nicht wirklich nachvollziehbar was hier genau gemeint ist. Was das Ganze mit mit Spie(l?)karten zu tun haben könnte erschließt sich bspw. nicht einmal meiner Glaskugel.

Für Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \alpha^2=\alpha \end{eqnarray*}$ aber damit ergibt die angegebene Lösung nicht viel Sinn. Beim Einsetzen ergibt sich die +-binomische Formel. Wenn hier die $\begin{eqnarray*} 2\alpha =0 \end{eqnarray*}$ Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ verwendet werden soll bleibt immer noch (a²+b²alpha²)/(a²-b²) stehen.

01.03.2013, 15:57

lagrange92

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok gut, könntest du das etwas genauer ausführen?

01.03.2013, 17:46

captain obvious

Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll ich denn genauer ausführen?
Dass ich keine Ahnung hab was ihr da definiert habt?
Dass mit dem was ich mir als Definition vorstellen könnte es auch nicht stimmt?

02.03.2013, 08:54

lagrange92

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte eigentlich den letzten Teil aus deinem letzten Post. Also gut was brauchst du genau an Definitionen, weil ich habe nicht viel mehr, als das, was ich schon geschrieben habe, auch wenn das wirr war. Sag mir bitte nochmal was du brauchst und ich schreibe es genauer.

02.03.2013, 09:38

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lagrange92
weil ich habe nicht viel mehr, als das, was ich schon geschrieben habe, auch wenn das wirr war.

Ja, wie gewohnt, möchte man fast sagen... Augenzwinkern

M.E. geht es hier um Gruppenringe, wobei der Ring der Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ der reellen Zahlen und die Gruppe eben die zyklische Gruppe mit 2 Elementen ist... Insbesondere ist also $\begin{eqnarray*} \alpha^2=1 \end{eqnarray*}$ ...

02.03.2013, 11:42

lagrange92

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man hierzu eine Art Multiplikationstafel für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ erstellen, um herauszufinden, was $\begin{eqnarray*} \alpha * \alpha \end{eqnarray*}$ , usw.?
Ich komme bis hierhin: $\begin{eqnarray*} (a+b\alpha)*(x+y\alpha)=1 \Longleftrightarrow ax+ay\alpha+xb\alpha+by\alpha^2=1 \Longleftrightarrow ax+ay\alpha+xb\alpha+by=1 \Longleftrightarrow (ax+by)+(ay+bx)\alpha=1 \end{eqnarray*}$ . Wie genau sollte ich jetzt weiter machen, um das genannte Ergebnis zu erhalten?

02.03.2013, 12:08

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Du müsstest jetzt bei deinem Weg noch quasi mit "Koeffizientenvergleich" weitermachen, also

$\begin{eqnarray*} ax+by=1, \ ay+bx=0 \end{eqnarray*}$

und daraus dann x und y berechnen... Ein Profi würde es allerdings von Haus aus ganz anders angehen, nämlich so, dass er einfach den Bruch

$\begin{eqnarray*} \frac 1{a+b\alpha} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a-b\alpha \end{eqnarray*}$ erweitert und den entstehenden Bruch dann wieder in der "Standardform"

$\begin{eqnarray*} u+v\alpha \quad (u,v \in \mathbb R) \end{eqnarray*}$

anschreibt...

02.03.2013, 13:38

lagrange92

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich aber auf meinem Weg weitermache, so war nämlich die Einleitung bei uns, dann müsste man doch mit einem LGS arbeiten oder?, weil ich habe noch keinen Koeffizientenvergleich durchgeführt. Sähe das dann so aus: $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}ax+by=1\\ ay+bx=0\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ ? Meine Idee wäre jetzt die Gleichungen in Abhängigkeit von einer Variablen umzuformen und dann einzusetzen... verwirrt

02.03.2013, 13:49

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dein Weg läuft auf die Auflösung eines LGS hinaus... Ein Profi (sorry, wenn ich mich wiederhole) würde allerdings die Gleichungen wie folgt umformen

$\begin{eqnarray*} ax+by=1 \quad | \cdot a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} bx+ay=0 \quad | \cdot b \end{eqnarray*}$

und dann subtrahieren, um z.B. das y wegzubekommen... Merke: Substituieren macht man in der Schule, auf der Hochschule sollte man langsam etwas umdenken... Augenzwinkern

02.03.2013, 14:11

lagrange92

Auf diesen Beitrag antworten »

Das liefe dann so:
$\begin{eqnarray*} ax+by=1 | \cdot a \wedge bx+ay=0 | \cdot b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a^2x+aby=a \\ b^2x+aby=0 \end{vmatrix} 1-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a^2x+aby=a \\ (a^2x-b^2x)+0=a \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x= \frac{a}{a^2-b^2} \end{eqnarray*}$
Einsetzen in 1:
$\begin{eqnarray*} a^2*(\frac{a}{a^2-b^2} )+(\frac{a}{a^2-b^2} )*b*y=a \Longleftrightarrow y=\frac{(a-\frac{a^3}{a^2-b^2})}{(a^2-b^2)*(ab)} \Longleftrightarrow y= \frac{b}{a^2-b^2} \end{eqnarray*}$

02.03.2013, 14:20

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich hatte eigentlich gehofft, du würdest "auf den Geschmack kommen" und das x auf ähnlich Weise wegbringen, nämlich durch die Umfprmung

$\begin{eqnarray*} ax+by=1 \quad | \cdot b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} bx+ay=0 \quad | \cdot a \end{eqnarray*}$

mit anschließender Subtraktion... Wie gesagt: Substituieren ist auf der Hochschule out... Lehrer

Davon abgesehen sollte irgendwo noch ein Vorzeichenfehler passiert sein, denn "mein Weg" liefert

$\begin{eqnarray*} \frac 1{a+b\alpha}=\frac {a-b\alpha}{(a+b\alpha)(a-b\alpha)}=\frac {a-b\alpha}{a^2-b^2}=\frac a{a^2-b^2}-\frac b{a^2-b^2}\alpha \end{eqnarray*}$

Schon ein bißchen kürzer, findest du nicht? Augenzwinkern

02.03.2013, 14:51

lagrange92

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Neue Frage »

Antworten »

Topologie (Gruppenalgebra: Das Inverse)

Verwandte Themen