Frage zu Beweis der Divergenz der harmonischen Reihe

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kgV Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Beweis der Divergenz der harmonischen Reihe
Schönen Nachmittag,
ich habe eine kleine Frage: wir/ich haben die Aufgabe bekommen, den Grenzwert der harmonischen Reihe() zu bestimmen. Diesen Beweis soll ich der Klasse demnächst vorstellen.
Dass die Reihe keinen Grenzwert hat, ist mir klar, nur kann ich das nicht einfach so über das Konvergenzkriterium von Cauchy beweisen, weil das leicht über unserem Niveau ist... Meine Schule ist ein Sprachengymnasium und das Niveau in Mathe ist nicht so besonders.
Ich habe also meinen Beweis in etwas einfachere Worte gefasst:

Zitat:
Der Grenzwert einer Reihe ist jener Wert, gegen den sie sich annäher, d.h. zu dem ihr Abstand beliebig klein wird. Ab einem bestimmten Glied, nennen wir es , muss der Rest also beliebig klein werden, damit es einen Grenzwert geben kann. Das weitere Vorgehen ist ähnlich dem Konvergenzkriterium: Summe von bis mit der Begründung, dass diese kleiner ist als die Gesamtsumme ab ist. Nächster Schritt: Die Summe durch gleich viele Glieder mit der Größe ersetzen (Begr.: wieder kleiner). Dann dies aufsummieren. Das ergibt , unabhängig vom Wert von x. Damit (und wegen der strengen Monotonie der Folge) gilt auch nach oben hin, dass keine der oberen Reihen einen Grenzwert haben kann, bis hin zur harmonischen Reihe. QED


Meine Fragen jetzt: ist das elementar genug? Voraussetzen kann man: Das Wissen, was eine Reihe ist sowie eine Ahnung von Grenzwerten.
Ich hoffe schon, denn ein anderer beweis fällt mir nicht ein...

Lg und Danke im Voraus
kgV
Wink
lagrange92 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu Beweis der Divergenz der harmonischen Reihe
Das klingt gut, nur würde ich an deiner Stelle noch den Begriff der Umgebung mit in die Begründung aufnehemen.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Wie meinst du das konkret? Mir fällt grade auf, dass ich die strenge Monotonie der Folge vergessen habe, aber wo ich die Umgebung unterbringen könnte, ist mir schleierhaft. Du meinst die Umgebung des Grenzwertes, oder? Das könnte man wirklich noch erwähnen...
lagrange92 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, die Umgebung des Grenzwertes, würde ich erwähnen. Willst du sagen, dass die Reihe konvergiert?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich will nicht sagen, dass die Reihe konvergiert, ddas gilt nur für die Folge (was ich auch geschrieben habe). Das erwähne ich nur, um zu sichern, dass die Glieder nicht irgendwann wieder größer werden (täte mir zwar nix, aber dennoch Augenzwinkern )
Dann ergänze ich vlt noch folgendes?

Zitat:
Es ist daher nicht möglich, dass die Mehrzahl der Folgeglieder in der Umgebung einer bestimmten Zahl liegt, weil diese Zahl nicht festgelegt werden kann (siehe die Tatsache, dass der Reihenwert langsam, aber doch, wächst)
lagrange92 Auf diesen Beitrag antworten »

Lass die Umbeung dann lieber weg, aber für deine Grenzwertgeschichte am Anfang, wäre sie zur Erklärung gut gewesen.
 
 
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Dann baue ich das dort ein Augenzwinkern

Zitat:
Der Grenzwert einer Reihe ist jener Wert, gegen den sie sich annäher, d.h. zu dem ihr Abstand beliebig klein wird, und in dessen Umgebung ein Großteil der Funktionswerte liegen. Ab einem bestimmten Glied, nennen wir es , muss der Rest also beliebig klein werden, damit es einen Grenzwert geben kann. Das weitere Vorgehen ist ähnlich dem Konvergenzkriterium: Summe von bis mit der Begründung, dass diese kleiner ist als die Gesamtsumme ab ist. Nächster Schritt: Die Summe durch gleich viele Glieder mit der Größe ersetzen (Begr.: wieder kleiner). Dann dies aufsummieren. Das ergibt , unabhängig vom Wert von x. Damit (und wegen der strengen Monotonie der Folge) gilt auch nach oben hin, dass keine der oberen Reihen einen Grenzwert haben kann, bis hin zur harmonischen Reihe. QED


passt dann so?
lagrange92 Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte die harmonische Reihe mal ausgeschrieben bis 1/16 und bilde "Päckchen" der Anzahl , dann ist dem letzen Glied in der Klammer , das halte ich noch für eine gute Anschauung.
Hieraus folgt, dann auch eine flüssigere Formulierung deines Beweises, denn alle Summanden in der Klammer sind größer als der Letzte, also insbesondere folgt die ganze Summe ist größer als 0.5, wenn du nun noch aufsummierst folgt die Divergenz.
tmp31415926 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Argumentation ist genau die Idee des klassischen Beweises, dass die harmonische Reihe divergiert. Sie tut dies übrigens logarithmisch, was man grob erkennen kann. Es gilt aber dies nur am Rande.

Ein paar Anmerkungen:
Zitat:
[...] in dessen Umgebung ein Großteil der Funktionswerte liegen [...]
zu ungenau. Erstens wurde nie eine Funktion definiert und zweitens reicht es nicht aus, dass ein Großteil der Folgeglieder in irgendeiner Umgebung liegen. Es können sogar unendlich viele Folgeglieder in einer Umgebung eines Punktes liegen (Häufungspunkt), die Folge allerdings dennoch divergieren.

Zitat:
[...] muss der Rest also beliebig klein [...]
Je nachdem was ihr bereits behandelt habt würde ich das noch erklären. Wenn ihr keine Cauchy-Konvergenz besprochen habt ist das u.U. nicht allen sofort klar (je nachdem an wen es sich richtet, aber es klingt so als könnte es notwendig sein).

Es ist klar, was du meinst und der Kernpunkt ist auch voll getroffen, hier aber dennoch eine genauer ausformulierte Version mit Induktion (für eventuelle Nachfragen des/der Lehrer/-in)
[attach]28761[/attach]
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Päckchen? Interessant... Wenn ich das Ganze bis 1/16 ausschreibe, dann müsste sein, d.h. ich habe zwei Päckchen à acht Elemente, die sicher jeweils größer als 0.5 sind, das dann gegen unendlich, also einfach größere Päckchen bilden, liefert dann mein Ergebnis, oder?
lagrange92 Auf diesen Beitrag antworten »

du hast dann Päckchen à 1,2,4,8,... Elemente jeweils größer 0,5. Ja genau das ist dein Beweis.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

@tmp31415926:
Danke für deine Version und Korrektur...
Und, nein, wir haben keine Cauchy-Konvergenz gehabt. Das ist sozusagen Freizeitvergnügen Augenzwinkern Ich muss aber wohl nicht alle Nebenbedingungen erklären können, wir hatten z.B. auch keine vollst. Induktion...
Dennoch danke, jetzt verstehe ich auch die Päckchen von vorhin wesentlich besser
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Die letzte Zeile aus den Bildern von tmp31415926 ist eigentlich schon das wesentliche und dürfte für "eure Verhältnisse" genügen Augenzwinkern
Die solltest du unbedingt anschreiben und den Rest der Zeit zu der Erläuterung verwenden.

Ansonsten: Wenn ihr schon Integrale kennt, kannst du noch ganz formlos das Integralkriterium "verwenden".

Und übrigens ist das hier genau das Verdichtungskriterium, nur ausformuliert Augenzwinkern
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Mein endgültiger Beweis sieht dann so aus:

Zitat:
Der Grenzwert einer Reihe ist jener Wert, gegen den sie sich annäher, d.h. zu dem ihr Abstand beliebig klein wird. Ab einem bestimmten Glied, nennen wir es , muss der Rest also beliebig klein werden, damit es einen Grenzwert geben kann. Das weitere Vorgehen ist ähnlich dem Konvergenzkriterium: Summe von bis mit der Begründung, dass diese kleiner ist als die Gesamtsumme ab . Nächster Schritt: Die Summe durch gleich viele Glieder mit der Größe ersetzen (Begr.: wieder kleiner). Dann dies aufsummieren. Das ergibt , unabhängig vom Wert von x. Je größer der Wert von x, desto mehr Elemente werden benötigt, um die 0.5 zu erreichen. Das zeige ich mittels des Beispiels mit der kleinsten Summe, also indem ich alles auf den größten Nenner hinunterrunde und das für zwei oder drei Zahlen wiederhole. Die allgemeine Veranschaulichung mittels Induktion werde ich mir sparen, behalte sie aber für den Fall des Falles in der Hinterhand. Damit (und wegen der strengen Monotonie der Folge) gilt auch nach oben hin, dass keine der oberen Reihen einen Grenzwert haben kann, bis hin zur harmonischen Reihe. QED



edit: @ Che: kann sein, ich werde das aber wohl "nur" als Veranschaulichung bringen, der Professor will ja auch beeindruckt werden Big Laugh
und nein, Integrale ist auch nix. Nebenher haben wir eben erst mit Reihen angefangen...
tmp31415926 Auf diesen Beitrag antworten »

OT: Ihr habt nen Professor als Lehrer einer Klasse? Oh der Neid...
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
OT: Ihr habt nen Professor als Lehrer einer Klasse? Oh der Neid...

RE: OT
Jawoll, seit letztem Jahr. Er ist wirklich Klasse. Habe meine Leidenschaft für Mathe ihm zu verdanken (siehe Registrierungsdatum Augenzwinkern )
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kgV
edit: @ Che: kann sein, ich werde das aber wohl "nur" als Veranschaulichung bringen, der Professor will ja auch beeindruckt werden Big Laugh

In erster Linie geht es aber darum, den anderen Schülern den Beweis verständlich zu machen.

Dein Beweistext gefällt mir noch nicht sonderlich, da solltest du vielleicht ein paar Formeln zur Veranschaulichung einfügen.
Und übrigens würde ich oder statt schreiben.


Dass euer Lehrer Professor sein soll, wundert mich aber auch – vor allem, da ihr nach deiner Beschreibung anscheinend kein sehr mathematischer Mathekurs zu sein scheint.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

OT: Achso, ihr meint den Professor so rum... Professor bei uns heißt lediglich Lehrer, hat nix mit dem akademischen Grad zu tun... ich habe das auf das Geschlecht bezogen gehabt Hammer

@ Che: Zum Text: wo ich aufsummieren schreibe, meine ich in Wahrheit eine Formel:

Zitat:
Der Grenzwert einer Reihe ist jener Wert, gegen den sie sich annäher, d.h. zu dem ihr Abstand beliebig klein wird. Ab einem bestimmten Glied, nennen wir es , muss der Rest also beliebig klein werden, damit es einen Grenzwert geben kann. Das weitere Vorgehen ist ähnlich dem Konvergenzkriterium: Summe von bis mit der Begründung, dass diese kleiner ist als die Gesamtsumme ab .



Nächster Schritt: Die Summe durch gleich viele Glieder mit der Größe ersetzen (Begr.: wieder kleiner).



Dann dies aufsummieren. Das ergibt , unabhängig vom Wert von n0.



Je größer der Wert von n0, desto mehr Elemente werden benötigt, um die 0.5 zu erreichen. Das zeige ich mittels des Beispiels mit der kleinsten Summe, also indem ich alles auf den größten Nenner hinunterrunde und das für zwei oder drei Zahlen wiederhole. Im Grunde die letzte Zeile, von der du gesprochen hast...
Die allgemeine Veranschaulichung mittels Induktion werde ich mir sparen (das ist dann schon etwas komplexere Mathematik), behalte sie aber für den Fall des Falles in der Hinterhand. Damit (und wegen der strengen Monotonie der Folge) gilt für die harmonische Reihe, dass sie keinen Grenzwert hat, da es immer Gruppen mit exponential wachsender Gliederzahl gibt (was gegen unendlich aber kein Problem ist), die größer als sind.
QED


Ist das so akzeptabel. Ich halte es für verständlich, aber man weiß nie...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kgV
Ab einem bestimmten Glied, nennen wir es , muss der Rest also beliebig klein werden, damit es einen Grenzwert geben kann.

Was heißt denn das? Das klingt, als gäbe es ein Glied, so dass alle danach folgenden beliebig klein sind.

Zitat:
Das weitere Vorgehen ist ähnlich dem Konvergenzkriterium:

Welchem denn?

Zitat:
Summe von bis mit der Begründung, dass diese kleiner ist als die Gesamtsumme ab .

Lieber von .

Zitat:
Dann dies aufsummieren. Das ergibt , unabhängig vom Wert von x.


Hier sind ein paar Variablen durcheinandergeraten.

Und dass die Glieder eine streng monotone Folge bilden, spielt eigentlich schon bei den obigen Abschätzungen eine Rolle.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was heißt denn das? Das klingt, als gäbe es ein Glied, so dass alle danach folgenden beliebig klein sind.

Wenn es einen Grenzwert gäbe, wäre das auch so, oder nicht? ich will ja darauf hinaus, dass es keinen gibt.

Zitat:
Welchem denn?

Dem Cauchyschen Konvergenzkriterium. Ich hatte das im Eingangspost erwähnt, bin danach aber immer weiter davon abgewichen.

Zitat:
Lieber von

Warum? Ruiniert mir das nicht den Beweisgang? Ich will ja lediglich darauf hinaus, dass eine endliche Teilsumme der harmonischen Reihe kleiner ist als diese selbst, weil ich dann über Cauchy nachweise, dass es keine Möglichkeit gibt, die Reihe beliebig klein zu machen.

Die Variablen werden sofort editiert. Verdammtes copy&paste Augenzwinkern
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kgV
Zitat:
Was heißt denn das? Das klingt, als gäbe es ein Glied, so dass alle danach folgenden beliebig klein sind.

Wenn es einen Grenzwert gäbe, wäre das auch so, oder nicht? ich will ja darauf hinaus, dass es keinen gibt.

Nein, nicht ganz: Dann gäbe es zu jedem ein bestimmtes Glied, so dass alle folgenden zusammen kleiner als sind.
Aber dieses bestimmte Glied ist nicht fest, sondern von abhängig.

Zitat:
Zitat:
Lieber von

Warum? Ruiniert mir das nicht den Beweisgang?

Nur, wenn du bei anfängst, kommst du bis auf genau Summanden Augenzwinkern
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber dieses bestimmte Glied ist nicht fest, sondern von abhängig.

Mein ist ja auch frei wählbar, d.h. zu jedem gäbe es bei existierendem Grenzwert ein eigenes , für das obengenanntes gültig wäre, oder liege ich gerade voll daneben?

Das mit den n Summanden- kein Kommentar Hammer
Wäre es auch möglich, von bis zu gehen und das auf abzurunden, ohne den Beweis zu ruinieren?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dass du dein so wählst, dass die nachfolgenden Glieder aufsummiert kleiner als sind, solltest du aber noch erwähnen.

Und dann solltest du wie gesagt lieber nicht bei anfangen zu summieren.
Erstens ist die Abschätzung dann unschöner und zweitens sollen nach obiger Annahme die Summanden nach klein sein (kannst du aber auch anders machen).
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Text wäre dann der folgende:

Zitat:
Der Grenzwert einer Reihe ist jener Wert, gegen den sie sich annäher, d.h. zu dem ihr Abstand beliebig klein wird. Ab einem bestimmten Glied, nennen wir es , muss der Rest also beliebig klein werden, damit es einen Grenzwert geben kann. Hier nehmen wir als Beispiel als Maximalabstand zum Grenzwert. Das weitere Vorgehen ist ähnlich dem Konvergenzkriterium von Cauchy: Summe von bis mit der Begründung, dass diese kleiner ist als die Gesamtsumme ab .



Nächster Schritt: Die Summe durch gleich viele Glieder mit der Größe ersetzen (Begr.: wieder kleiner).



Dann dies aufsummieren. Das ergibt , unabhängig vom Wert von .



Je größer der Wert von , desto mehr Elemente werden benötigt, um die 0.5 zu erreichen. Das zeige ich mittels des Beispiels mit der kleinsten Summe, also indem ich alles auf den größten Nenner hinunterrunde und das für zwei oder drei Zahlen wiederhole.

Die allgemeine Veranschaulichung mittels Induktion werde ich mir sparen (das ist dann schon etwas komplexere Mathematik), behalte sie aber für den Fall des Falles in der Hinterhand. Damit (und wegen der strengen Monotonie der Folge) gilt für die harmonische Reihe, dass sie keinen Grenzwert hat, da es immer Gruppen mit exponential wachsender Gliederzahl gibt (was gegen unendlich aber kein Problem ist), die größer als sind.
QED
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man das dann so verwenden?
Finde ich im Übrigen einen faszinierenden zusammenhang, dass für die harmonische Reihe gilt:

, damit die Summe größer als 0.5 ist

Das folgt einfach aus der Summe, die tmp31415926 zitiert hat, oder?
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