Frage zu Beweis der Divergenz der harmonischen Reihe |
01.03.2013, 15:13 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Frage zu Beweis der Divergenz der harmonischen Reihe ich habe eine kleine Frage: wir/ich haben die Aufgabe bekommen, den Grenzwert der harmonischen Reihe() zu bestimmen. Diesen Beweis soll ich der Klasse demnächst vorstellen. Dass die Reihe keinen Grenzwert hat, ist mir klar, nur kann ich das nicht einfach so über das Konvergenzkriterium von Cauchy beweisen, weil das leicht über unserem Niveau ist... Meine Schule ist ein Sprachengymnasium und das Niveau in Mathe ist nicht so besonders. Ich habe also meinen Beweis in etwas einfachere Worte gefasst:
Meine Fragen jetzt: ist das elementar genug? Voraussetzen kann man: Das Wissen, was eine Reihe ist sowie eine Ahnung von Grenzwerten. Ich hoffe schon, denn ein anderer beweis fällt mir nicht ein... Lg und Danke im Voraus kgV |
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01.03.2013, 15:23 | lagrange92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Frage zu Beweis der Divergenz der harmonischen Reihe Das klingt gut, nur würde ich an deiner Stelle noch den Begriff der Umgebung mit in die Begründung aufnehemen. |
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01.03.2013, 15:28 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wie meinst du das konkret? Mir fällt grade auf, dass ich die strenge Monotonie der Folge vergessen habe, aber wo ich die Umgebung unterbringen könnte, ist mir schleierhaft. Du meinst die Umgebung des Grenzwertes, oder? Das könnte man wirklich noch erwähnen... |
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01.03.2013, 15:47 | lagrange92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Genau, die Umgebung des Grenzwertes, würde ich erwähnen. Willst du sagen, dass die Reihe konvergiert? |
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01.03.2013, 15:56 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein, ich will nicht sagen, dass die Reihe konvergiert, ddas gilt nur für die Folge (was ich auch geschrieben habe). Das erwähne ich nur, um zu sichern, dass die Glieder nicht irgendwann wieder größer werden (täte mir zwar nix, aber dennoch ) Dann ergänze ich vlt noch folgendes?
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01.03.2013, 16:03 | lagrange92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Lass die Umbeung dann lieber weg, aber für deine Grenzwertgeschichte am Anfang, wäre sie zur Erklärung gut gewesen. |
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01.03.2013, 16:05 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Dann baue ich das dort ein
passt dann so? |
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01.03.2013, 16:22 | lagrange92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Betrachte die harmonische Reihe mal ausgeschrieben bis 1/16 und bilde "Päckchen" der Anzahl , dann ist dem letzen Glied in der Klammer , das halte ich noch für eine gute Anschauung. Hieraus folgt, dann auch eine flüssigere Formulierung deines Beweises, denn alle Summanden in der Klammer sind größer als der Letzte, also insbesondere folgt die ganze Summe ist größer als 0.5, wenn du nun noch aufsummierst folgt die Divergenz. |
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01.03.2013, 16:35 | tmp31415926 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Deine Argumentation ist genau die Idee des klassischen Beweises, dass die harmonische Reihe divergiert. Sie tut dies übrigens logarithmisch, was man grob erkennen kann. Es gilt aber dies nur am Rande. Ein paar Anmerkungen:
Es ist klar, was du meinst und der Kernpunkt ist auch voll getroffen, hier aber dennoch eine genauer ausformulierte Version mit Induktion (für eventuelle Nachfragen des/der Lehrer/-in) [attach]28761[/attach] |
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01.03.2013, 16:36 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Päckchen? Interessant... Wenn ich das Ganze bis 1/16 ausschreibe, dann müsste sein, d.h. ich habe zwei Päckchen à acht Elemente, die sicher jeweils größer als 0.5 sind, das dann gegen unendlich, also einfach größere Päckchen bilden, liefert dann mein Ergebnis, oder? |
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01.03.2013, 16:39 | lagrange92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
du hast dann Päckchen à 1,2,4,8,... Elemente jeweils größer 0,5. Ja genau das ist dein Beweis. |
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01.03.2013, 16:40 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@tmp31415926: Danke für deine Version und Korrektur... Und, nein, wir haben keine Cauchy-Konvergenz gehabt. Das ist sozusagen Freizeitvergnügen Ich muss aber wohl nicht alle Nebenbedingungen erklären können, wir hatten z.B. auch keine vollst. Induktion... Dennoch danke, jetzt verstehe ich auch die Päckchen von vorhin wesentlich besser |
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01.03.2013, 16:45 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die letzte Zeile aus den Bildern von tmp31415926 ist eigentlich schon das wesentliche und dürfte für "eure Verhältnisse" genügen Die solltest du unbedingt anschreiben und den Rest der Zeit zu der Erläuterung verwenden. Ansonsten: Wenn ihr schon Integrale kennt, kannst du noch ganz formlos das Integralkriterium "verwenden". Und übrigens ist das hier genau das Verdichtungskriterium, nur ausformuliert |
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01.03.2013, 16:48 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Mein endgültiger Beweis sieht dann so aus:
edit: @ Che: kann sein, ich werde das aber wohl "nur" als Veranschaulichung bringen, der Professor will ja auch beeindruckt werden und nein, Integrale ist auch nix. Nebenher haben wir eben erst mit Reihen angefangen... |
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01.03.2013, 16:55 | tmp31415926 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
OT: Ihr habt nen Professor als Lehrer einer Klasse? Oh der Neid... |
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01.03.2013, 16:59 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: OT Jawoll, seit letztem Jahr. Er ist wirklich Klasse. Habe meine Leidenschaft für Mathe ihm zu verdanken (siehe Registrierungsdatum ) |
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01.03.2013, 17:00 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
In erster Linie geht es aber darum, den anderen Schülern den Beweis verständlich zu machen. Dein Beweistext gefällt mir noch nicht sonderlich, da solltest du vielleicht ein paar Formeln zur Veranschaulichung einfügen. Und übrigens würde ich oder statt schreiben. Dass euer Lehrer Professor sein soll, wundert mich aber auch – vor allem, da ihr nach deiner Beschreibung anscheinend kein sehr mathematischer Mathekurs zu sein scheint. |
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01.03.2013, 17:14 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
OT: Achso, ihr meint den Professor so rum... Professor bei uns heißt lediglich Lehrer, hat nix mit dem akademischen Grad zu tun... ich habe das auf das Geschlecht bezogen gehabt @ Che: Zum Text: wo ich aufsummieren schreibe, meine ich in Wahrheit eine Formel:
Ist das so akzeptabel. Ich halte es für verständlich, aber man weiß nie... |
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01.03.2013, 17:32 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Was heißt denn das? Das klingt, als gäbe es ein Glied, so dass alle danach folgenden beliebig klein sind.
Welchem denn?
Lieber von .
Hier sind ein paar Variablen durcheinandergeraten. Und dass die Glieder eine streng monotone Folge bilden, spielt eigentlich schon bei den obigen Abschätzungen eine Rolle. |
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01.03.2013, 17:38 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn es einen Grenzwert gäbe, wäre das auch so, oder nicht? ich will ja darauf hinaus, dass es keinen gibt.
Dem Cauchyschen Konvergenzkriterium. Ich hatte das im Eingangspost erwähnt, bin danach aber immer weiter davon abgewichen.
Warum? Ruiniert mir das nicht den Beweisgang? Ich will ja lediglich darauf hinaus, dass eine endliche Teilsumme der harmonischen Reihe kleiner ist als diese selbst, weil ich dann über Cauchy nachweise, dass es keine Möglichkeit gibt, die Reihe beliebig klein zu machen. Die Variablen werden sofort editiert. Verdammtes copy&paste |
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01.03.2013, 17:50 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein, nicht ganz: Dann gäbe es zu jedem ein bestimmtes Glied, so dass alle folgenden zusammen kleiner als sind. Aber dieses bestimmte Glied ist nicht fest, sondern von abhängig.
Nur, wenn du bei anfängst, kommst du bis auf genau Summanden |
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01.03.2013, 17:57 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Mein ist ja auch frei wählbar, d.h. zu jedem gäbe es bei existierendem Grenzwert ein eigenes , für das obengenanntes gültig wäre, oder liege ich gerade voll daneben? Das mit den n Summanden- kein Kommentar Wäre es auch möglich, von bis zu gehen und das auf abzurunden, ohne den Beweis zu ruinieren? |
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01.03.2013, 18:00 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Dass du dein so wählst, dass die nachfolgenden Glieder aufsummiert kleiner als sind, solltest du aber noch erwähnen. Und dann solltest du wie gesagt lieber nicht bei anfangen zu summieren. Erstens ist die Abschätzung dann unschöner und zweitens sollen nach obiger Annahme die Summanden nach klein sein (kannst du aber auch anders machen). |
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01.03.2013, 18:16 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Mein Text wäre dann der folgende:
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02.03.2013, 18:54 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Kann man das dann so verwenden? Finde ich im Übrigen einen faszinierenden zusammenhang, dass für die harmonische Reihe gilt: , damit die Summe größer als 0.5 ist Das folgt einfach aus der Summe, die tmp31415926 zitiert hat, oder? |
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