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02.03.2013, 00:41

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Meine Frage:
Hallo ich komme bei einer Aufgabe gerade nicht weiter:

Die Folge an n element von N sei definiert durch:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

und besitzt den Grenzwert a = 0. Bestimmen Sie zu epsilon = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10^5} \end{eqnarray*}$ ein möglichst kleines N (epsilon) ? N, so dass gilt:

| an -a | < epsilon für allen n >= N (epsilon)

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Meine Ideen:
leider keine

02.03.2013, 01:08

Lamiah

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Gucken wir uns mal die Definition des Grenzwertes an:

Eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ reeller Zahlen konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , falls gilt: Zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} |a_n - a| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ .

Nun setze Deine Werte ein und schaue, ob Du einen Ansatz findest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.03.2013, 12:14

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$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n} -a | < \frac{1}{10^5} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich denn nun weiter vor Leute ?

02.03.2013, 12:17

Iorek

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Du kennst doch einen Wert für a, diesen kannst du einsetzen und dann weiter abschätzen. Wirf auch mal einen Blick in den [WS] Folgen.

02.03.2013, 12:51

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Ok so?

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n} | < \frac{1}{10^5} \end{eqnarray*}$
Aber was mache ichbjetzt genau ?

02.03.2013, 13:15

tmp31415926

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Diese Ungleichung zu lösen lernt man irgendwo in der 8. Klasse? Wenn das also wirklich in den Hochschulmathematikbereich gehört, würde ich dir raten, dir selbst nochmal etwas Gedanken darüber zu machen. Wenn du es wirklich nicht hin bekommst (jeder steht irgendwann mal böse auf dem Schlauch) wird dir sicher auch weiter geholfen werden, aber zumindest die Chance etwas selbstständig zu tun soll doch gegeben sein.

Als Tipps: n ist immer positiv (weshalb?), was passiert also mit den Betragsstrichen? Zudem ist es praktisch, zuerst n als reelle Zahl zu betrachten und dann zu runden (in welche Richtung runden und weshalb?)

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02.03.2013, 14:39

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10^5 < n

Stimmt es so?

02.03.2013, 14:46

tmp31415926

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Freude

In Hinsicht auf die Ursprüngliche Fragestellung, was ist nun unser minimales N?

02.03.2013, 15:46

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10^5 oder ?

Bin ich damit schon fertig oder wie?

02.03.2013, 16:59

tmp31415926

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Pass bei soetwas genau auf die Angabe auf:

Zitat:

| an -a | < epsilon für allen n >= N (epsilon)

Da 10^5 genau eine netürlich Zahl ist und wir nicht runden mussten trifft es dies also nicht genau.

02.03.2013, 17:41

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Was soll ich dann machen?

02.03.2013, 17:51

tmp31415926

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Was haben wir denn bisher?
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}<\frac{1}{10^5}\Leftrightarrow n>10^5 \end{eqnarray*}$
Was uns stört ist das es ein reines Größer ist und kein größer gleich. Das Problem ist also nur noch, dass wenn wir $\begin{eqnarray*} N=10^5 \end{eqnarray*}$ wählen leider für den Fall $\begin{eqnarray*} n=N \end{eqnarray*}$ (welcher in $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ eingeschlossen ist) kein Kleiner sondern Gleichheit gilt ( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10^5}=\frac{1}{10^5} \end{eqnarray*}$ )

Nun bedenke aber, dass n sowohl als N natürliche Zahlen sind. Was können wir also wählen, damit es passt?

02.03.2013, 19:05

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Soll ich einfach >= Zeichen benutzen?

02.03.2013, 19:21

tmp31415926

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Wenn du die Angabe umschreiben darfst würde das natürlich vieles vereinfachen...

Denke eher mal daran, dass wir ein N suchen, dass passt. 10^5 geht geraaaaade so nicht, da dort genau Gleichheit gilt. Was nehmen wir also stattdessen?

02.03.2013, 21:40

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Wie soll ich den darauf kommen , was ich nehmen soll?

03.03.2013, 00:44

tmp31415926

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Denk mal über den Zahlenstrahl mit den natürlichen Zahlen nach. Wir wissen bei n=10^5 ist genau Gleichheit, wir wollen aber, dass es echt kleiner wird ( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}<\frac{1}{10^5} \end{eqnarray*}$ ) also...

03.03.2013, 02:05

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10^5/n < 1

So vielleicht?

03.03.2013, 14:01

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Ist meine vermutung nun richtig leute ?

03.03.2013, 14:26

tmp31415926

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Und bitte beachte, dass unser gesuchtes N immernoch eine natürliche Zahl sein soll.

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