Stetigkeit und vollständige Raum

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PhysicsThommy Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit und vollständige Raum
Meine Frage:

Sei der -Vektorraum aller stetigen reelwertigen Funktionen auf . Zeige:

(i) Durch für ist eine Norm auf definiert.
(ii) Sei . Ist die Abbildung , definiert durch , stetig?
(iii) Ist mit der von induzierten Metrik ein vollständiger metrischer Raum?

Meine Ideen:
(i) Ist klar, habe nur die Norm-kriterien gebraucht.

Bei (ii) habe nur eine Idee, aber bin nicht sicher:


zu jedem gibt es ein mit
also falls

Aber wie gehe ich jetzt weiter?

Und jemand hat eine Idee für (iii)?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und vollständige Raum
Zu (ii):
Da ist zu überprüfen, ob für Funktionenfolgen mit in auch gilt.
(also lieber Folgenstetigkeit als Epsilons und Deltas)
PhysicsThommy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und vollständige Raum
Also ich muss überprüfen, ob es punktweise konvergent ist?

Zu jeden und jedem ein gibt, s.d. ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und vollständige Raum
Vergiss die Epsilons...
Außerdem sollte sein.

Wir haben jetzt aber ein festes . Diese Abbildung ist genau dann stetig, wenn aus (in ) auch folgt.
Ist das der Fall?
PhysicsThommy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und vollständige Raum
Ja, das ist der Fall, oder?

Aber wie soll ich das Beweisen? Mit Umgebung?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und vollständige Raum
Nein, ohne Umgebungen.
Schätze nach oben durch etwas ab, das gegen Null geht, wenn in .
 
 
PhysicsThommy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und vollständige Raum
Ich habe dass alle und stetige reelwertige Funktionen sind und
sup

Aber ich habe keine Ahnung was ich da drin für und schreiben kann.

Sie können beide sein oder?

Oder sup wenn und ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und vollständige Raum
Ich erkenne nicht ganz, was du mir da sagen willst verwirrt
PhysicsThommy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und vollständige Raum
ich muss values für und schreiben, um zu zeigen, das gegen null geht?

Wie soll ich das machen wenn ich überhaupt keine funktionsdefinition habe?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und vollständige Raum
Das klingt nicht gerade sinnvoll.

Du hast die Voraussetzung

und möchtest

für ein festes zeigen.
Hast du dazu noch irgendwelche Ideen?
PhysicsThommy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und vollständige Raum
Dann wenn ist schon beweist, dass , weil , oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und vollständige Raum
Eigentlich schon, denn .
PhysicsThommy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und vollständige Raum
Danke vielmals!

Jetzt bei (iii) , V ist vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in V einen Grenzwert in V besitzt.

Wir haben .

Ich muss zeigen dass alle mögliche ein in geben.

Ist das richtig?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und vollständige Raum
Zitat:
Original von PhysicsThommy
Jetzt bei (iii) , V ist vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in V einen Grenzwert in V besitzt.

Das stimmt noch, der Rest hat nichts mit Cauchy-Folgen zu tun.
PhysicsThommy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und vollständige Raum
Was wäre dann meine Cauchy-Folgen hier?
f ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und vollständige Raum
wäre eine einzelne Funktion.
Nein, du sollst dir eine Cauchy-Folge aus wählen. Gib der irgendeinen Namen.
PhysicsThommy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und vollständige Raum


Ist das gut?
Wie soll ich weiter machen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und vollständige Raum
Was sind denn , , und ?

Nochmal: Wähle eine Cauchy-Folge und gebe ihr einen Namen. Dazu brauchst du kein einziges Gleichheitszeichen und keine Ungleichung.
PhysicsThommy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und vollständige Raum
Ok, zum Beispiel
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit und vollständige Raum
Naja, nennen wir sie mal lieber Augenzwinkern
Du weißt also, dass beliebig klein werden kann.
Jetzt zeige, dass für beliebiges konvergiert.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Das Interesse hier ist anscheinend erlahmt. Deswegen nur eine Anmerkung zu ii). Die Stetigkeit bei lässt sich sehr wohl einfach mit zeigen. Es ist zu zeigen: Zu jedem mit gibt es ein , sodass



Wählt man nun , dann folgt:



Womit Stetigkeit von gezeigt wäre.
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