Gruppentheorie (Gruppe, Untergruppe, Normalteiler und Primzahl)

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Emilia12 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppentheorie (Gruppe, Untergruppe, Normalteiler und Primzahl)
Meine Frage:
Guten Tag,

ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Sei G eine endliche Gruppe, p eine Primzahl, ist Normalteiler mit und ist eine Untergruppe.
Zeige: Entweder ist oder HN=G

Meine Ideen:
Wenn ich prüfen möchte, muss ich dann "einfach" nur Prüfen, ob H eine Untergruppe von N ist also
1) H ist nicht leer
2) für alle
3) für alle

Zu 1) H ist nicht leer, da H das neutrale Element enthält. (Gruppe vererbt das neutrale Element an Untergruppe)
Und hier hört es bei mir schon auf.
Ich kann nur noch sagen dass für einen Normalteiler von G gilt:


Stehe hier irgendwie auf dem Schlauch...

Oder muss ich hier mit Lagrange etwas überlegen, weil ein Normalteiler ist ja eine spezielle Untergruppe und laut Lagrage teilt die Ordnung der Untergruppe die Ordnung der Gruppe was hier gleich p ist.
Das würde heißen, dass p die Anzahl der Linksnebenklassen und die Anzahl der Rechtsnebenklassen ist.

Ich glaub ich bin total auf dem Holzweg.
Bitte um Hife!!!
Vg
Emilia
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du verrennst dich da in der Tat in etwas.

Du musst nirgends zeigen, dass eine Untergruppe ist. Das ist ja vorausgesetzt.

Du musst eben zeigen: Gibt es ein Element mit , so gilt sogar schon .

Das ist gar nicht so schwer.

Nutze aus, dass zyklisch ist und von jedem seiner nichttrivialen Elemente erzeugt wird. Damit gewinnst du zu jedem eine Zerlegung




Die weiteren Details sind jetzt noch dir überlassen.
Emilia12 Auf diesen Beitrag antworten »

G/N ist doch nur dann zyklisch, wenn es von nur einme Element erzeugt ist. Mich verwirrt, dass du schreibst, "von jedem seiner nichttrivialen Elemente".
Die Zerlegung zeigt, dass G in diesem Fall von <g> erzeugt wird, oder sehe ich das wieder falsch?
Wenn G zyklisch ist, dann hat G keine Untergruppe außer G und {e}.
D.h. wenn HN=G sein soll dann könnte ja man sagen dass H=G und N={e} und so hätte man dann wieder G...
verwirrt verwirrt verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wir sollte etwas langsamer vorgehen.

Fangen wir mal damit an:

Weißt du denn, dass jede Gruppe mit Elementen zyklisch ist und somit isomorph zu ist?
Emilia12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jede Gruppe mit Primzahlordnung ist zyklisch --> abelsch.
Emilia12 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wenn die Gruppe zyklisch ist, ist auch die Untergruppe zyklisch und jede abelsche Untergruppe (da zyklisch) ist ein Normalteiler.
 
 
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