Standardabweichung berechnen

06.03.2013, 18:20

stoa

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Standardabweichung berechnen

Meine Frage:
Ich habe ein problem bei der folgenden aufgabe

Bestimmen sie die standardabweichung fuer die (nicht binomialverteilten) zufallsgroessen. Betrachten sie die verteilungen der zufalls groessen.
X4: Augenzahl beim 1-Fachen Tetraederwurf
X6: Augenzahl beim 1-Fachen Hexaederwurf
X8: Augenzahl beim 1-Fachen Oktaederwurd
X12: Augenzahl beim 1-Fachen Dodekaederwurf
X20: Augenzahl beim 1-Fachen Ikosaederwurf

Kleine zahl nach X

Meine Ideen:
Es geht ja jedesmal um das selbe und ich habe auch die formel

V(X)=\sum\limits_{k=1}^n (k-myu)²*P(X=k)

nur weiss ich nicht so genau, was ich da einsetzen soll

also k kann entweder 0 oder 1 sein, da es ja um 1mal werfen geht
Myu ist p*n also 1 * ¼, weil die wahrscheinlichkeit für eine zahl beim tetraeder 4 ist??
Wenn ich das in die formel einsetze, kommt da was großes raus...
Was ist da falsch?

06.03.2013, 18:34

Dopap

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Da must du schon mit der Definition ran.

$\begin{eqnarray*} E(X_n)=\mu_n=\sum_{k=1}^n P(X_n=k)\cdot k \end{eqnarray*}$

[Wenn die "Augenzahlen" von 1 ... n laufen.]

ist der Erwartungswert. Und wie ist die Standardabweichung definiert?

06.03.2013, 19:51

stoa

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Die formel für die standardabweichung habe ich da oben ja schon hingeschrieben, wobei die wurzel fehlt

Also wurzel aus summe (k=1 bis n) von (k-myu)²*P(X=k)

Und ich weiß halt eben nicht, was ich für myu, bzw k einsetzen soll

06.03.2013, 20:03

Dopap

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uups, richtig, da stand es versteckt.

$\begin{eqnarray*} s^2= \sum_{k=1}^n (k-\mu)^2\cdot p(X_n=k) \end{eqnarray*}$

ja, die Formeln sind so eine Sache. Ohne Verständnis nützen die nix.

Also:

1.) sei n=4 , es geht um Tetraederwürfel.

die beiden Formeln sagen jetzt explizit was zu tun ist.

a.) berechne $\begin{eqnarray*} \mu=\sum_{k=1}^4 p(X=k)\cdot k \end{eqnarray*}$

b.)...

kannst du $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ , den Erwartungswert der Augenzahl berechnen ?

06.03.2013, 20:37

stoa

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Also für mü habe ich gelernt, dass das einfach nur n*p ist. Und ich hätte da einfach 1*¼ gerechnet
Aber da würde ich ja bei allenaufgaben für myu 1 rausbekommen...

06.03.2013, 20:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von stoa
Also für mü habe ich gelernt, dass das einfach nur n*p ist.

Nein, das ist nur die spezielle Berechnungsformel für den Fall, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ binomialverteilt ist. Ist dies nicht der Fall - so wie hier - dann ist diese Berechnungsformel nicht anwendbar !!!

Also nochmal: Die von Dopap angegebene Formel

$\begin{eqnarray*} E(X_n)=\mu_n=\sum_{k=1}^n P(X_n=k)\cdot k \end{eqnarray*}$

ist hier anzuwenden.

--------------------------------

Eine überlegenswerte Alternativformel zur Varianzberechnung ist $\begin{eqnarray*} V(X) = E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$ , wobei man das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -te Moment $\begin{eqnarray*} E(X^m) \end{eqnarray*}$ einer diskreten Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ über

$\begin{eqnarray*} E(X^m) = \sum_k x_k^m\cdot P(X=x_k) \end{eqnarray*}$

berechnen kann, im Fall deines $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ also

$\begin{eqnarray*} E(X_n^m) = \sum_{k=1}^n k^m\cdot P(X_n=k) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k^m \end{eqnarray*}$ .

Für die hier benötigten Exponenten $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m=2 \end{eqnarray*}$ gibt es für letzteres bekannte "fertige" Summenformeln.

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06.03.2013, 21:07

stoa

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Für de erwartungswert bekpmme ich aber trotzdem 1...
ich setze doch für p=0.25 und für q=0.75 ein, oder?

06.03.2013, 21:12

Math1986

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Zitat:

Original von stoa
Für de erwartungswert bekpmme ich aber trotzdem 1...
ich setze doch für p=0.25 und für q=0.75 ein, oder?

Es ist hier immer noch die von Dopap genannte Formel zu verwenden:
$\begin{eqnarray*} E(X_n)=\mu_n=\sum_{k=1}^n P(X_n=k)\cdot k \end{eqnarray*}$

06.03.2013, 21:16

stoa

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Ja aber für die berechnung von P(X) brauche ich doch p und q

06.03.2013, 21:23

Math1986

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Zitat:

Original von stoa
Ja aber für die berechnung von P(X) brauche ich doch p und q

Nein. Du hast hier immer noch keine Binomialverteilung.

Berechne erstmal die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Augenzahlen.

06.03.2013, 21:48

stoa

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Ach soo. Ist das dann
P= 0*0,25^0 + 1*0,25^1 + ... 4*0,25^4 = 7/16?

07.03.2013, 10:43

Math1986

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Poste mal die komplette Rechnung.

07.03.2013, 14:11

stoa

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Tschuldigung,
Ich meinte

P(X=0) = 0,75⁴ = 81/256
P(X=1) = 0,25*0,75³ = 27/256
P(X=2) = 0,25²*0,75² = 9/256
P(X=3) = 0,25³*0,75 = 3/256
P(X=4) = 0,25⁴ = 1/256

Nach den Pfadregelm?

myu = summe aus P(X=k) * k = 0*81/256 + 1*27/256 + 2*9/256 + 3*3/256 + 4*1/256 = 29/128

Und wenn ich das in die formel für die stabdardabweichung einsetze, kommt da

S²= (0-29/128)²*81/256 + (1-29/128)²*27/256 + (2-29/128)²*9/256 + (3-29/128)²*3/256 + (4-29/128)²*1/256 = 0,3357
s= 0,5793

Aber irgebdwas ist da falsch...

07.03.2013, 20:44

HAL 9000

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Irgendwie hast du da aber was total in den falschen Hals gekriegt:

Die Augenzahl-Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ fällt an beim Wurf des (verallgemeinerten) Spielwürfels, dessen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Seiten mit $\begin{eqnarray*} 1,2,\ldots,n \end{eqnarray*}$ beschriftet sind, und jede dieser dann möglichen Augenzahlen $\begin{eqnarray*} 1,2,\ldots,n \end{eqnarray*}$ kommt mit gleicher Wahrscheinlichkeit vor - jedenfalls nimmt man das an bei einem solchen ungezinkten Würfel.

Es ist also schlicht und einfach

$\begin{eqnarray*} P(X_n=1) = P(X_n=2) = \ldots = P(X_n=n) = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ,

das ist die Grundlage aller Rechnungen hier! Ich frag lieber nicht genauer nach, was du dir unter $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ vorgestellt hast.

@ Dopap

Kannst ruhig weitermachen, wenn du willst - ich hab kein sonderliches Interesse hier am Thread, hab mich jetzt nur gemeldet, weil lange keine Reaktion kam.

07.03.2013, 20:50

Dopap

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du rechnest immer noch eine Binomialverteilung aus, wenn auch nicht richtig.

Du meinst: ein Tetraeder wird 4 mal geworfen. Sei die Augenzahl 1 ein Treffer, restliche Augenzahlen sind Nieten.

X= ist die Anzahl der Treffer

-----------------------------------

richtig ist: ein Tetraeder wird 1 mal geworfen. Bestimme den Erwartungswert der Augenzahl

X= Augenzahl.

Es ist ein Laplace-Experiment

Tip: $\begin{eqnarray*} p(X=1)=p(X=2)=p(X=3)=p(X=4)=\frac 14 \end{eqnarray*}$

uns nun die wkt's mit den Augenzahlen multiplizieren und addieren. Und fertig ist E(X)

----------------------------------------
edit: hat sich zufällig so ergeben.

07.03.2013, 22:04

stoa

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Ahh, also ist jetzt myu = ¼*1 + ¼*2 + ¼*3 + ¼*4 = 2,5?
Aber ist myu dann hier (oder bei laplace immer) der durchschnitt?

und s²= (1-2,5)²*0,25 + (2-2,5)²*0,25 + (3-2,5)²*0,25 + (4-2,5)²*0,25 = 1,25?
und die standarabweichung ist wurzel(1,25) = 1,1180?

07.03.2013, 22:25

Dopap

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Zitat:

Original von stoa
Ahh, also ist jetzt myu = ¼*1 + ¼*2 + ¼*3 + ¼*4 = 2,5?
Aber ist myu dann hier (oder bei laplace immer) der durchschnitt?

$\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ stimmt jetzt.

Was heisst Durchschnitt? Bei einen Laplace-Experiment ist $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ tatsächlich das arithmetische Mittel.

Zitat:

und s²= (1-2,5)²*0,25 + (2-2,5)²*0,25 + (3-2,5)²*0,25 + (4-2,5)²*0,25 = 1,25?
und die standarabweichung ist wurzel(1,25) = 1,1180?

ja klar! warum nicht gleich so? Die anderen Aufgaben gehen genauso.

Noch was: ich habe gelernt, $\begin{eqnarray*} \mu = np \end{eqnarray*}$ ist nicht gut. Zusehr an den Buchstaben orientiert.

Wie gross ist der Erwartungswert für Treffer = Kopf bei einer verbogenen Münze mit $\begin{eqnarray*} p(Kopf) \neq 0.5 \end{eqnarray*}$
bei einem Wurf ?

07.03.2013, 22:38

stoa

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Vielem dank für die hilfe!
kann ich davon ausgehen, dass wenn es kein bernoulli experiment ist, es sich um laplace handelt und andersrum auch?

Zu der frage mit der münze: wieso p ungleich 0,5? die wahrscheinlichkeit für kopf ist doch immer 0,5?

07.03.2013, 23:14

Dopap

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Zitat:

Original von stoa

kann ich davon ausgehen, dass wenn es kein bernoulli experiment ist, es sich um laplace handelt und andersrum auch?

das sind immer so Fragen nach fertigen Rezepten unglücklich

unglücklich

Es gilt lediglich:
Ein Laplace mit 2 möglichen Ergebnissen ist auch ein Bernoulli...
Ein Bernoulli mit p=0.5 ist auch ein Laplace....

Zitat:

Zu der frage mit der münze: wieso p ungleich 0,5? die wahrscheinlichkeit für kopf ist doch immer 0,5?

Ich schrieb: mit einer verbogenen Münze

und das mit Absicht, damit kein Laplace vorliegt und p unbestimmt ist.

07.03.2013, 23:24

stoa

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Aber ich habe doch richtig verstanden, dass bei bernoulli nur 2 möglichkeiten gibt und bei laplace haben alle möglichkeiten die gleiche wahrscheinlichkeit, oder? (so vereinfacht gesagt)

07.03.2013, 23:35

Dopap

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das ist richtig.

07.03.2013, 23:48

stoa

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Gut, danke! Damit sollte ich eigentlich in der Lage sein, bernoulli und laplace voneinander zu unterscheiden...

Noch mal vielen vielen dank für die hilfe!
Die restlichen aufgaben habe ich auch geschafft

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