Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren

06.03.2013, 19:56

GymSchüler2014

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren

Guten Abend, ich versuche gerade meine Mathe Hausaufgaben zu machen, habe jedoch dabei Schwierigkeiten. Zunächst habe ich mir das Beispiel, welches ich von der Tafel abgeschrieben habe, angesehen. Jedoch war ich nicht in der Lage die einzelnen Schritte durchzublicken bzw. zu erkennen.
Ich werde zuerst hier das Beispiel zeigen.

gegeben : $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-3 \end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \vec{c}=\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_{1}\vec{a}+r_{2}\vec{b}+r_{3}\vec{c}=\vec{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1r_1 + 4r_2 + 2r_3=0 \\ 2r_1 + 0 -4 r_3=0 \\ -3r_1 + r_2 + 7r_3=0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2|0 \\ 2 & 0 &-4|0 \\ -3 & 1 & 7|0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2|0 \\ 0 & -8 &-8|0 \\ 0 & 13 & 13|0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2|0 \\ 0 & -1 &-1|0 \\ 0 & 1 & 1|0 \end{pmatrix}]+ \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2|0 \\ 0 & -1 &-1|0 \\ 0 & 0 & 0|0 \end{pmatrix}]+ |*4 \Rightarrow 0*r_{1} +0*r_{2} +0*r_{3} \end{eqnarray*}$

danach

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} r_1 + 4r_2 + 2r_3=0 \\ -r_1-r_3=0 \end{vmatrix} | + r_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} r_3=-r_2 \\ r_1 + 4r_2 + 2r_3=0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} r_3=-r_2 \\ r_1=-2r_2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Bitte um Erklärung & Hilfe .

Bedanke mich im vorraus.

Mfg GymSchüler2014

Edit(Helferlein): Latex korrigiert und Folgebeiträge gelöscht.
Du hattest mehrere Klammern am Ende der Latex-Befehle vergessen.

06.03.2013, 20:54

GymSchüler2014

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danke schön :=) @ Helferlein.

Hoffe nun das dies verständlich ist. Bin immer noch am überlegen verwirrt

.

Gruß GymSchüler2014

06.03.2013, 21:00

Helferlein

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Welcher Schritt ist Dir denn unklar? Die komplette Rechnung steht ja schon da.
In groben Zügen:

Du betrachtest die Gleichung $\begin{eqnarray*} r\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}=\vec{0} \end{eqnarray*}$
Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn die einzige Lösung dieses Gleichungssystems r=s=t=0 lautet.

Dann wendest Du das Gauß-Verfahren an, um die Lösung zu ermitteln und stellst fest, dass es noch weitere Lösungen gibt. Folglich sind die Vektoren nicht unabhängig.

06.03.2013, 21:05

GymSchüler2014

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ehm, mir ist der schritt von 2. zu 3. unklar bei dem gauss verfahren.
Sie sollten wissen, dass ich das gauss verfahren gerade zum ersten mal benutze. Ich habe es noch nie vorher angewendet , jedoch meinte meine lehrerin ich sollte das machen.

06.03.2013, 21:06

Helferlein

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Da wurden die zweite und dritte Zeile durch 8 bzw. 13 dividiert.
Das ist alles.

06.03.2013, 21:13

GymSchüler2014

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ach ja stimmt , danke.
Was bedeuten die rechenbefehle in schritt 3 bzw. schritt 4 ?

In Schritt 3 ist ja eine umklammernde klammer mit einmen + zeichen. Was bedeutet das ?

Und in Schritt 4 wird mit 4 multipliziert usw.

Das verstehe ich nicht so ganz verwirrt

06.03.2013, 21:16

Helferlein

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In 3. wurden die zweite und dritte Zeile addiert.
Das danach kannst Du eigentlich vergessen, denn da wurde nichts verändert. Es wurde lediglich die letzte Zeile als Gleichung geschrieben.

06.03.2013, 21:24

GymSchüler2014

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ich glaube mal, dass ich das verstanden habe. Ich versuche jetzt mit den gegeben Vektoren (Hausaufgaben) das mal zu lösen. Haben Sie vielleicht noch etwas Zeit um mein Ergebniss zu überprüfen ?

Das sind die gegeben Vektoren

$\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} , \vec{b}= \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{c}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Falls nicht, bedanke ich mich fürs bisherige erklären und warte auf jemand anderem smile

06.03.2013, 21:34

GymSchüler2014

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RE: Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren

Zitat:

danach

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} r_1 + 4r_2 + 2r_3=0 \\ -r_1-r_3=0 \end{vmatrix} | + r_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} r_3=-r_2 \\ r_1 + 4r_2 + 2r_3=0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} r_3=-r_2 \\ r_1=-2r_2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Warum steht da dann wieder -r_1-r_3=0 | +3 , wenn die zweite zeile mit der dritten zeile (von dem Gauß verfahren 3.) addiert wird ist doch keine variable mehr davon übrig oder nicht ?

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