Anwendung des Struktursatzes für endliche abelsche Gruppen

07.03.2013, 17:44

jspadvjnmd

Anwendung des Struktursatzes für endliche abelsche Gruppen

Meine Frage:

Voraussetzungen:
Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine endliche abelsche Gruppe mit $\begin{eqnarray*} N^r \end{eqnarray*}$ Elementen. Sei $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} A[D] \end{eqnarray*}$ sei sie die Untergruppe von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , die aus allen Elementen der Ordnung $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ besteht. $\begin{eqnarray*} A[D] \end{eqnarray*}$ habe $\begin{eqnarray*} D^r \end{eqnarray*}$ Elemente.

Folgerung:
$\begin{eqnarray*} A \cong (\mathbb{Z}/(N\mathbb{Z}))^r \end{eqnarray*}$

Fragen:

- Kann man in der Vorraussetzung von der Untergruppe reden, oder von einer?

- Wie kommt man auf die Folgerung?

Ideen:

Wende den Struktursatz für endliche abelsche Gruppen an:

$\begin{eqnarray*} A \cong \mathbb{Z}/(a_1\mathbb{Z}) \times \ldots \times \mathbb{Z}/(a_m\mathbb{Z}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 2 \le a_1 | \ldots | a_m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_1 \cdot \ldots \cdot a_m = N^r \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} A[D] \cong \mathbb{Z}/(b_1\mathbb{Z}) \times \ldots \times \mathbb{Z}/(b_m\mathbb{Z}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 2 \le b_1 | \ldots | b_m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_1 \cdot \ldots \cdot b_m = D^r \end{eqnarray*}$

Dies geht für jeden Teiler $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , also auch für den kleinsten Primteiler $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ . Also kann man diesen erstmal betrachten. Außerdem gibt es auf der linken Seite einen Gruppenhomomorphismus:

$\begin{eqnarray*} \phi: A[D] \rightarrow A, x \mapsto x \end{eqnarray*}$

Deswegen gibt es diese Hintereinanderschaltung der Abbildungen $\begin{eqnarray*} \beta^{-1} \circ \phi \circ \alpha \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ den Isomorphismen der obigen Gruppen. Daher existiert ein so definierbarer Gruppenhomomorphismus zwischen den zwei Gruppen auf der rechten Seite. Damit ist die Gruppe rechts unten eine Untergruppe der Gruppe rechts oben.

Aber inwiefern hängen damit die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ und die $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ zusammen?

07.03.2013, 18:17

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Anwendung des Struktursatzes für endliche abelsche Gruppen

Zitat:

Original von jspadvjnmd
Sei $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} A[D] \end{eqnarray*}$ sei sie die Untergruppe von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , die aus allen Elementen der Ordnung $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ besteht.

Da stimmt schon was nicht. Warum sollte $\begin{eqnarray*} A[D] \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe bilden?

Man kann höchstens von der von $\begin{eqnarray*} A[D] \end{eqnarray*}$ erzeugten Untergruppe reden.

Das wären denn alle Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} Dx = 0 \end{eqnarray*}$ (Ich bleibe bei der additiven Schreibweise für abelsche Gruppen).

Davon gibt es in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/N^s \mathbb Z \end{eqnarray*}$ immer genau $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ Stück (Wenn $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ Teiler von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist), unabhängig von $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ (mind. 1 natürlich), was die Aufgabe eigentlich im Wesentlichen schon erschlägt.

07.03.2013, 20:46

jspadvjnmd

Auf diesen Beitrag antworten »

A[D] ist bereits eine Untergruppe:

$\begin{eqnarray*} a,b \in A[D] \Rightarrow Da=0, Db=0 \Rightarrow D(a-b)=(a-b)+(a-b)+\ldots+(a-b) = Da-Db = 0-0=0 \Rightarrow a-b \in A[D] \end{eqnarray*}$

Oder übersehe ich etwas? Ich verstehe das so, dass alle Elemente, deren Ordnung ein Teiler von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist, darin sind.

Wie meinst du das:

Davon gibt es in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/N^s \mathbb Z \end{eqnarray*}$ immer genau $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ Stück (Wenn $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ Teiler von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist), unabhängig von $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ (mind. 1 natürlich), was die Aufgabe eigentlich im Wesentlichen schon erschlägt.

Warum "immer genau $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ Stück" (Argument oder wo weiterlesen)?
Mindestens 1, wegen Cauchy? Das geht aber nur bei Primteilern oder?

Und wie soll das zu der Folgerung führen?

Vielen Dank

08.03.2013, 10:27

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von jspadvjnmd
Oder übersehe ich etwas? Ich verstehe das so, dass alle Elemente, deren Ordnung ein Teiler von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist, darin sind.

Ja, das habe ich doch auch schon gesagt. Jedoch ist der Text in der Aufgabenstellung dann nicht ganz korrekt.

Zitat:

Original von jspadvjnmd
Warum "immer genau $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ Stück" (Argument oder wo weiterlesen)?
Mindestens 1, wegen Cauchy?

Das ist eine sehr einfache Überlegung. Du kannst die Lösungen von $\begin{eqnarray*} Dx = 0 \pmod {N^s} \end{eqnarray*}$ sogar einfach alle hinschreiben.

Oder etwas Gruppentheorie:

Als Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist $\begin{eqnarray*} U = \{x | Dx = 0 \} \end{eqnarray*}$ zyklisch.

Da alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ höchstens Ordnung $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ haben, hat $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ also höchstens $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ Elemente. Daher reicht es zu zeigen, dass es ein Element $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ der Ordnung $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ gibt, um $\begin{eqnarray*} U = \langle a \rangle \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} |U| = D \end{eqnarray*}$ einzusehen. Und ein Element der Ordnung $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ anzugeben, sollte nicht schwer sein...

08.03.2013, 11:33

jspadvjnmd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu dieser einfachen Überlegung:

$\begin{eqnarray*} Dx=0\mod N^s \Leftrightarrow N^s|Dx \Leftrightarrow (\frac N D )\cdot N^{s-1}|x \Leftrightarrow x=0\mod (\frac N D )\cdot N^{s-1}\Leftrightarrow x=a\cdot (\frac N D )\cdot N^{s-1}, a=0,\ldots,D-1 \end{eqnarray*}$

Zu der anderen Überlegung:
Der Erzeuger der Gruppe ist $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ (man denke an die additive Schreibweise), also hat das Element $\begin{eqnarray*} \frac N D \cdot N^{s-1} \end{eqnarray*}$ die Ordnung $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , denn kein Element $\begin{eqnarray*} a\cdot (\frac N D )\cdot N^{s-1} \end{eqnarray*}$ ist bereits $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , solange $\begin{eqnarray*} a< D \end{eqnarray*}$ .

So weit so gut Freude

Wieso redest du eigentlich von $\begin{eqnarray*} N^s \end{eqnarray*}$ und in wie fern hängt das mit dem $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ zusammen? Ich sehe nicht, wie das in diesem Problem helfen soll.

08.03.2013, 12:09

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ soll beliebig sein, während $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ja in der Aufgabe fest ist. Daher die andere Namnesgebung.

Wenn es in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / N^s \mathbb Z \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ Lösungen gibt, wieviele gibt es dann in $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^t \mathbb Z / N^{s_i} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?

PS: Eines wollte ich noch sagen: Der Satz von Cauchy, den du da oben erwähnt hast, ist für abelsche Gruppen eigentlich immer völlig uninteressant, da (mit dem Struktursatz) trivial.

08.03.2013, 14:16

jspadvjnmd

Auf diesen Beitrag antworten »

In $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^t \mathbb Z / N^{s_i} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gibt es dann $\begin{eqnarray*} D^t \end{eqnarray*}$ Lösungen, da man jede mit jeder kombinieren kann.

Aber warum kannst du die Struktur $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^t \mathbb Z / N^{s_i} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ vorab fixieren?

Wie schließt man z.B. Strukturen der Form $\begin{eqnarray*} A \cong \mathbb Z / x \mathbb Z \times \mathbb Z / ( \frac {N^r} x \mathbb Z ) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Teiler von $\begin{eqnarray*} N^r \end{eqnarray*}$ aus?

Und was soll das $\begin{eqnarray*} D^t \end{eqnarray*}$ zur Lösung beitragen?

Tut mir Leid, ich stehe gerade wohl etwas auf dem Schlauch.

09.03.2013, 07:48

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt scheiden sich wieder die Geister bzgl. der Aufgabenstellung.

- Wenn man die Aufgabenstellung so interpretiert, dass es die Vorraussetzung für einen fixen Teiler D gelten muss, so muss man das stillschweigend vorraussetzen.

Sosnt wäre ja $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/ D \mathbb Z \times \mathbb Z/ D^3 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein Gegenbeispiel für $\begin{eqnarray*} N = D^2, r = 2 \end{eqnarray*}$ .

- Andernfalls muss man annehmen, dass die Vorraussetzung für alle Teiler $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ gilt. (Obiges Gegenbeispiel erfüllt die Vorrausetzung natürlich für den Teiler $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ nicht)

Neue Frage »

Antworten »

Anwendung des Struktursatzes für endliche abelsche Gruppen

Verwandte Themen