Lösungen von Differentialgleichungen

07.03.2013, 21:19

HansimGlück

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Lösungen von Differentialgleichungen

[attach]28915[/attach]

Ich versteh beide Aufgaben leider nicht.

2) f(x) und g(x) sind also Stammfunktionen der inhomogenen DGL.
Wie ich damit zeige, dass f(x)-g(x) eine Lösung der zugehörigen homogenen DGL ist, mag mir nicht einfallen.

Sobald der Punkt nicht geklärt ist, lassen sich die weiteren Fragen leider auch nicht beantworten.

Möchte mich bereits jetzt für Eure Hilfe bedanken!

07.03.2013, 21:28

Che Netzer

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RE: Lösungen von Differentialgleichungen

Zitat:

Original von HansimGlück
2) f(x) und g(x) sind also Stammfunktionen der inhomogenen DGL.

Lösungen, nicht Stammfunktionen.
Das bedeutet, dass
$\begin{align*} f'(x)&=a(x)f(x)+b(x)\\g'(x)&=a(x)g(x)+b(x)\,. \end{align*}$
Jetzt sollst du zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} (f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)=a(x)\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,. \end{eqnarray*}$

08.03.2013, 14:02

HansimGlück

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RE: Lösungen von Differentialgleichungen

Zitat:

Original von Che Netzer
Jetzt sollst du zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} (f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)=a(x)\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,. \end{eqnarray*}$

Verstehe nicht, wie ich das mache.

08.03.2013, 14:08

Che Netzer

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RE: Lösungen von Differentialgleichungen
Dann setze mal die beiden Voraussetzungen (siehe oben) in $\begin{eqnarray*} f'(x)-g'(x) \end{eqnarray*}$ ein.

11.03.2013, 16:23

HansimGlück

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RE: Lösungen von Differentialgleichungen

Zitat:

Original von Che Netzer

Lösungen, nicht Stammfunktionen.
Das bedeutet, dass
$\begin{align*} f'(x)&=a(x)f(x)+b(x)\\g'(x)&=a(x)g(x)+b(x)\,. \end{align*}$
[/l]

1.) Wieso sind nun f(x) und g(x) Teil der rechten Seite d. Differentialgleichung? Wieso steht da nicht weiterhin y(x)?

Zitat:

Original von Che Netzer
Jetzt sollst du zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} (f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)=a(x)\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,. \end{eqnarray*}$

2.) Woraus folgerst du, dass das zu zeigen ist? (Nicht, dass ich dir nicht glaube. Ich möchte es nur gerne nachvollziehen können).

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (f-g)'(x) \end{eqnarray*}$

3.) Wieso steht da die erste Ableitung? In der Angabe ist steht lediglich f(x)-g(x).

Danke für deine Hilfe...!

11.03.2013, 16:44

Che Netzer

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RE: Lösungen von Differentialgleichungen
Die inhomogene DGL lautet in Worten
"Ableitung der Funktion = a mal Funktion + b".
Die homogene ist
"Ableitung der Funktion = a mal Funktion".
Als Funktion kann man nun $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f+g \end{eqnarray*}$ einsetzen.
Bzw. $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (f+g)(x)=f(x)+g(x) \end{eqnarray*}$ .

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11.03.2013, 16:59

HansimGlück

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OK, damit wäre für mich Frage 1 geklärt.

2. und 3. sind für mich allerdings weiterhin unklar.
In der Angabe steht ja, dass f(x)-g(x) eine Lösung der zugehörigen hom. DGL ist. Du schreibst $\begin{eqnarray*} f'(x)-g'(x)=a(x)\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,. \end{eqnarray*}$ . Demnach würde ja folgen, dass nicht f(x)-g(x) eine Lösung der zugehörigen hom. DGL ist, sondern f'(x)-g'(x)?

11.03.2013, 17:05

Che Netzer

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Nein, denn links steht die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto f(x)-g(x) \end{eqnarray*}$ .

12.03.2013, 21:48

HansimGlück

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RE: Lösungen von Differentialgleichungen
OK, also zurück zu:

Zitat:

Original von Che Netzer
Jetzt sollst du zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} (f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)=a(x)\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,. \end{eqnarray*}$

$\begin{align*} f'(x)-g'(x)=a(x)f(x)+b(x) - a(x)g(x)-b(x)\, \end{align*}$
$\begin{align*} f'(x)-g'(x)=a(x)\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\, \end{align*}$

Obiger Punkt wäre also gezeigt?

Zitat:

... . Folgern Sie daraus und aus der vorherigen Aufgabe, dass jede Lösung h(x) von (*) die Gestalt
$\begin{eqnarray*} h(x)=c*e^{A(x)}+f(x) \end{eqnarray*}$
hat.

Die "vorherige" Lösung: http://www.matheboard.de/attachment.php?attachmentid=28913

Die Lösung einer inhom. DGL ist ja die Lösung der hom. Gleichung ( $\begin{eqnarray*} c*e^{A(x)} \end{eqnarray*}$ ) + eine spezielle Lösung ( $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ), also $\begin{eqnarray*} c*e^{A(x)}+f(x) \end{eqnarray*}$ .
Wird auf diese Folgerung abgezielt oder doch etwas anderes?

12.03.2013, 21:56

Che Netzer

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RE: Lösungen von Differentialgleichungen
Ja, dass $\begin{eqnarray*} f-g \end{eqnarray*}$ Lösung ist, wäre damit gezeigt.

Nun weißt du, dass die Differenz zweier inhomogener Lösungen von (*) die Form $\begin{eqnarray*} c\mathrm e^{A(x)} \end{eqnarray*}$ hat.
Bringt dich das weiter?

12.03.2013, 22:16

HansimGlück

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[attach]29034[/attach]
Versteh leider nicht, wie ich den Ansatz verwenden soll.

Zweiter Teil der Aufgabe: $\begin{eqnarray*} y'(x)=3x^2*y(x)+x^2 \end{eqnarray*}$

i) Hom. $\begin{eqnarray*} y_{h}=e^{x^3}*c \end{eqnarray*}$

ii) Hier tu ich mir schwer. Habe Variation d. Konstanten versucht, stoße dann allerdings auf $\begin{eqnarray*} c'(x)=x^2*e^{-x^3} \end{eqnarray*}$ , was händisch zu integrieren sehr schwer erscheint, weshalb ich glaube, dass ich einen Fehler gemacht habe.

12.03.2013, 22:23

Che Netzer

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Zitat:

Original von HansimGlück
ii) Hier tu ich mir schwer. Habe Variation d. Konstanten versucht, stoße dann allerdings auf $\begin{eqnarray*} c'(x)=x^2*e^{-x^3} \end{eqnarray*}$ , was händisch zu integrieren sehr schwer erscheint, weshalb ich glaube, dass ich einen Fehler gemacht habe.

Nein, das ist ganz einfach Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielleicht hilft es dir, wenn du $\begin{eqnarray*} \frac1{-3}(-3) \end{eqnarray*}$ einschiebst.

Diese Beispiel-DGL könntest du übrigens auch mit der Trennung der Veränderlichen lösen...

Und den Ansatz sollst du eben verwenden, um mit der Variation der Konstanten eine allgemeine Lösung von (*) zu finden.

12.03.2013, 22:27

HansimGlück

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RE: Lösungen von Differentialgleichungen

Zitat:

Original von Che Netzer
Nun weißt du, dass die Differenz zweier inhomogener Lösungen von (*) die Form $\begin{eqnarray*} c\mathrm e^{A(x)} \end{eqnarray*}$ hat.
Bringt dich das weiter?

Nein, leider nicht. Mir gelingt es nicht hier den Zusammenhang zu erkennen.

12.03.2013, 22:29

Che Netzer

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RE: Lösungen von Differentialgleichungen
Dann lass mal $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ irgendeine spezielle Lösung sein. Jetzt nimm dir eine weitere inhomogene Lösung $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ und zeige $\begin{eqnarray*} g(x)=c\mathrm e^{A(x)}+f(x) \end{eqnarray*}$ für irgendein $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

12.03.2013, 22:41

HansimGlück

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Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von HansimGlück
ii) Hier tu ich mir schwer. Habe Variation d. Konstanten versucht, stoße dann allerdings auf $\begin{eqnarray*} c'(x)=x^2*e^{-x^3} \end{eqnarray*}$ , was händisch zu integrieren sehr schwer erscheint, weshalb ich glaube, dass ich einen Fehler gemacht habe.

Nein, das ist ganz einfach Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielleicht hilft es dir, wenn du $\begin{eqnarray*} \frac1{-3}(-3) \end{eqnarray*}$ einschiebst.

Grundsätzlich muss ich hier ja die partielle Integration anwenden.
Ich setze also $\begin{eqnarray*} u=2x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=e^{-x^3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c(x)=2x*e^{-x^3}-\int 2x*(-3x^2*e^{-x^3}) dx \end{eqnarray*}$
Das führt zu einem (scheinbar) nimmer endenden Integrationskreislauf.

12.03.2013, 22:47

HansimGlück

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RE: Lösungen von Differentialgleichungen

Zitat:

Original von Che Netzer
Dann lass mal $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ irgendeine spezielle Lösung sein. Jetzt nimm dir eine weitere inhomogene Lösung $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ und zeige $\begin{eqnarray*} g(x)=c\mathrm e^{A(x)}+f(x) \end{eqnarray*}$ für irgendein $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} g(x)=c\mathrm e^{A(x)}+f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)-f(x)=c\mathrm e^{A(x)} \end{eqnarray*}$
Wie oben bestätigt: die Differenz zweier inhomogener Lösungen ist gleich $\begin{eqnarray*} c\mathrm e^{A(x)} \end{eqnarray*}$

12.03.2013, 22:52

Che Netzer

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Versuche beim Integral lieber Substitution.

Und dass $\begin{eqnarray*} g(x)=\dotso \end{eqnarray*}$ , solltest du noch etwas sauberer zeigen; so sieht man kaum, ob du das einfach hinschreibst oder auch begründest.

12.03.2013, 23:04

HansimGlück

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Zitat:

Original von Che Netzer
Versuche beim Integral lieber Substitution.

!!!

Hammer

Danke, werd ich probieren.

Zitat:

Original von Che Netzer
Und dass $\begin{eqnarray*} g(x)=\dotso \end{eqnarray*}$ , solltest du noch etwas sauberer zeigen; so sieht man kaum, ob du das einfach hinschreibst oder auch begründest.

$\begin{eqnarray*} g(x)=c\mathrm e^{A(x)}+f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)-f(x)=c\mathrm e^{A(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x)-f'(x)=a(x)(f(x)-g(x) \end{eqnarray*}$

Somit "sauberer"?

12.03.2013, 23:17

Che Netzer

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Nein, du gehst schon von der genannten Darstellung aus.
Auf jeden Fall fehlt ein Text drumherum; so sind das nur ein paar dahingeschriebene Gleichungen, zu denen man irgendeinen Zusammenhang erraten muss.

12.03.2013, 23:49

HansimGlück

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So:

i)
$\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ seien also Lösungen von $\begin{eqnarray*} y'(x)=a(x)*y(x)+b(x) \end{eqnarray*}$ .

ii)
$\begin{eqnarray*} f(x)-g(x) \end{eqnarray*}$ sei eine Lösung der zugehörigen hom. DGL $\begin{eqnarray*} y'(x)=a(x)*y(x) \end{eqnarray*}$ , das wäre wie folgt gezeigt:

$\begin{eqnarray*} y'(x)=a(x)*y(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)=a(x)f(x)+b(x) - a(x)g(x)-b(x)=a(x)*(f(x)-g(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f+g)(x)=c*e^{A(x)} \end{eqnarray*}$

iii)
Nun ist aus obigem zu folgern, dass jede Lösung $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} y'(x)=a(x)*y(x)+b(x) \end{eqnarray*}$ die Gestalt $\begin{eqnarray*} h(x)=c*e^A+f(x) \end{eqnarray*}$ hat.

Das will mir leider nicht gelingen.

12.03.2013, 23:54

Che Netzer

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Woher kommt denn das $\begin{eqnarray*} f+g \end{eqnarray*}$ ?

Naja, du hast folgendes gegeben:
1. Es existiert eine inhomogene Lösung $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .
2. Wenn man die Differenz zweier inhomogener Lösungen bildet, erhält man $\begin{eqnarray*} c\mathrm e^{A(x)} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Jetzt willst du folgendes zeigen:
Ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ eine inhomogene Lösung, so ist $\begin{eqnarray*} g(x)=c\mathrm e^{A(x)}+f(x) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die inhomogene Lösung aus Punkt Eins ist.
Jetzt überlege dir, wie du das zeigen kannst – du benötigst dafür nur noch die Annahme 2.

13.03.2013, 00:03

HansimGlück

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
Woher kommt denn das $\begin{eqnarray*} f+g \end{eqnarray*}$ ?

Durch Integration von (f+g)'(x)?

Zitat:

Original von Che Netzer
Naja, du hast folgendes gegeben:
1. Es existiert eine inhomogene Lösung $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .
2. Wenn man die Differenz zweier inhomogener Lösungen bildet, erhält man $\begin{eqnarray*} c\mathrm e^{A(x)} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Jetzt willst du folgendes zeigen:
Ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ eine inhomogene Lösung, so ist $\begin{eqnarray*} g(x)=c\mathrm e^{A(x)}+f(x) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die inhomogene Lösung aus Punkt Eins ist.
Jetzt überlege dir, wie du das zeigen kannst – du benötigst dafür nur noch die Annahme 2.

Aus Annahme 2 folgt $\begin{eqnarray*} g(x)-f(x)=c*e^{A(x)} \end{eqnarray*}$ und entsprechend durch Subtraktion von f(x) -> $\begin{eqnarray*} g(x)=c\mathrm e^{A(x)}+f(x) \end{eqnarray*}$

Danke dir jedenfalls für deine Geduld bisher... Freude

Freude

13.03.2013, 00:09

Che Netzer

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Und woher kommt $\begin{eqnarray*} (f+g)'(x) \end{eqnarray*}$ ?

Die andere Idee sieht gut aus.

13.03.2013, 01:13

HansimGlück

Auf diesen Beitrag antworten »

Aus

Zitat:

Original von Che Netzer

"Ableitung der Funktion = a mal Funktion + b".

13.03.2013, 01:22

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier geht es aber um die Differenz zweier Funktionen.

13.03.2013, 01:28

HansimGlück

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Hm, dann hab ich keine Antwort.

Ich hatte deinen Satz ""Ableitung der Funktion = a mal Funktion + b" angewandt.
(f+g)(x) ist ja auch eine Funktion.

"Ableitung der Funktion (f+g)(x) = a mal Funktion (f+g) (x) + b"...

13.03.2013, 09:34

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist aber nicht klar, wieso du die SUMME von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bildest.
Diese "Gleichung"
Ableitung der Funktion = a mal Funktion + b
gilt ja nicht für jede beliebige Funktion.

13.03.2013, 10:49

HansimGlück

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HansimGlück

$\begin{eqnarray*} (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)=a(x)f(x)+b(x) - a(x)g(x)-b(x)=a(x)*(f(x)-g(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f+g)(x)=c*e^{A(x)} \end{eqnarray*}$

Richtigerweise sollte da Folgendes stehen?

$\begin{eqnarray*} (f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)=a(x)f(x)+b(x) - a(x)g(x)-b(x)=a(x)*(f(x)-g(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f-g)(x)=c*e^{A(x)} \end{eqnarray*}$

13.03.2013, 10:56

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht schon besser aus.
Worauf wolltest du denn damit hinaus?

13.03.2013, 11:18

HansimGlück

Auf diesen Beitrag antworten »

Es wurde damit gezeigt, dass die Differenz von f(x) und g(x), eine Lösung der hom. DGL $\begin{eqnarray*} y'(x)=a(x)*y(x) \end{eqnarray*}$ ist.

Zu iii:
Aus Annahme 2 geht also hervor, dass $\begin{eqnarray*} f(x)-g(x)=c*e^{A(x)} \end{eqnarray*}$ , demnach also $\begin{eqnarray*} g(x)=c*e^{A(x)}+f(x) \end{eqnarray*}$ ist?

13.03.2013, 11:21

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HansimGlück
Aus Annahme 2 geht also hervor, dass $\begin{eqnarray*} f(x)-g(x)=c*e^{A(x)} \end{eqnarray*}$ , demnach also $\begin{eqnarray*} g(x)=c*e{A(x)}+f(x) \end{eqnarray*}$ ist?

Bis auf das Vorzeichen: Ja.

13.03.2013, 11:26

HansimGlück

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst das Vorzeichen von f(x) auf der rechten Seite, nehm ich an?

$\begin{eqnarray*} f(x)-g(x)=c*e^{A(x)} \end{eqnarray*}$
/-f(x)

$\begin{eqnarray*} -g(x)=c*e^{A(x)}-f(x) \end{eqnarray*}$
/ *(-1)

$\begin{eqnarray*} g(x)=c*e^{A(x)}+f(x) \end{eqnarray*}$

c wäre jetzt sogesehen eine neue (negative) Konstante?

13.03.2013, 11:28

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, dieses $\begin{eqnarray*} c=-c \end{eqnarray*}$ ist nicht sehr schön Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bilde besser gleich die Differenz $\begin{eqnarray*} g(x)-f(x)=c\mathrm e^{A(x)} \end{eqnarray*}$ .

13.03.2013, 11:44

HansimGlück

Auf diesen Beitrag antworten »

So gehts natürlich auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hast du noch genug Geduld um mir bei 3.) zu helfen?
http://www.matheboard.de/attachment.php?attachmentid=29034

Mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} h(x)=c(x)*e^{A(x)} \end{eqnarray*}$ soll eine Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} y'(x)=a(x)*y(x)+b(x) \end{eqnarray*}$ gefunden werden.

$\begin{eqnarray*} y_P=c(x)*e^{A(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'_P=c'(x)*e^{A(x)}+c(x)*e^{A(x)}*a(x) \end{eqnarray*}$

Einsetzen in die DGL:
$\begin{eqnarray*} c'(x)*e^{A(x)}+c(x)*e^{A(x)}*a(x)=a(x)*c(x)*e^{A(x)}+b(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c'(x)*e^{A(x)}=b(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c'(x)=b(x)*e^{-A(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c(x)=\int b(x)*e^{-A(x)} dx \end{eqnarray*}$
Wie es nun weitergeht (und, obs bis dahin überhaupt richtig ist), ist mir leider unklar.

13.03.2013, 13:18

Che Netzer

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Eröffne dazu mal lieber einen neuen Thread, dieser hier ist ja schon voll genug...

13.03.2013, 13:59

HansimGlück

Auf diesen Beitrag antworten »

Done

Differentialgleichung mittels Ansatz

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