Determinante durch 17 teilbar

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07.03.2013, 22:39	Timbonane	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante durch 17 teilbar Hallo! Ich habe hier ein Beispiel vor mir, bei dem ich mich so gar nicht aussehe. Die Angabe lautet: Es seien $\begin{eqnarray} n_1,n_2,n_3,n_4 \end{eqnarray}$ durch 17 teilbare, natürliche Zahlen, die kleiner als 10000 sind, und $\begin{eqnarray} n_i=z_{i,3}z_{i,2}z_{i,1}z_{i,0}=\sum_{j=0}^3 z_{i,j}10^j \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} i=1,...,4 \end{eqnarray}$ ihre Dezimalentwicklungen. Zeigen Sie, dass dann auch die Determinante $\begin{eqnarray} det\begin{pmatrix} z_{1,3}&z_{1,2}&z_{1,1}&z_{1,0}\\ z_{2,3}&z_{2,2}&z_{2,1}&z_{2,0}\\z_{3,3}&z_{3,2}&z_{3,1}&z_{3,0}\\z_{4,3}&z_{4,2}&z_{4,1}&z_{4,0}\\\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ durch 17 teilbar ist. So, und mein Problem startet im Prinzip schon direkt bei der Angabe, wir haben halt gerade Determinanten durchgemacht, und dieses Beispiel bereitet mir echt Probleme. Sollte ich so anfangen, dass ich evtl die Determinante mal ganz allgemein bestimme, also mit den $\begin{eqnarray} z_{i,j} \end{eqnarray}$ ? Obwohl ich dann noch immer nicht weis, wie ich daraus irgendwie schließen kann, dass die Determinante dann durch 17 teilbar ist :S Für Hilfe wäre ich mehr als dankbar, und bedanke mich dafür auch schon im Voraus! Lg
07.03.2013, 23:44	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante durch 17 teilbar Die Determinante ändert sich nicht, wenn du ein Vielfaches einer Spalte zu einer anderen addierst.
11.03.2013, 18:03	Timbonane	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante durch 17 teilbar Ich habe jetzt die letzten Tage versucht, mit diesem Tipp irgendwie auf das gewünschte hinzukommen, jedoch find ich mich irgendwie so gar nicht zurecht. Soll ich die Determinante erstmal mittels (Entwicklung nach Laplace)? versuchen zu bestimmen, und dann schauen, ob ich irgendwie auf eine Darstellung komme, in der ersichtlich ist, dass sie durch 17 teilbar ist? Oder erstmal die Determinante so umformen, dass in jedem Eintrag der Matrix ein $\begin{eqnarray} n_i \end{eqnarray}$ steht?
11.03.2013, 23:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach doch einfach ein Beispiel: $\begin{eqnarray} n_1 = 2023 = 119 \cdot 17 \, , \ \ n_2 = 4301 = 253 \cdot 17 \, , \ \ n_3 = 1632 = 96 \cdot 17 \, , \ \ n_4 = 5219 = 307 \cdot 17 \end{eqnarray}$ Zu untersuchen ist $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 0 & 1 \\ 1 & 6 & 3 & 2 \\ 5 & 2 & 1 & 9 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt addiere das 1000fache der ersten, das 100fache der zweiten und das 10fache der dritten Spalte zur letzten. Dadurch ändert sich die Determinante nicht.
11.03.2013, 23:45	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee ist, durch die genannten Umformungen eine Spalte zu erzeugen, in der jedes Element durch 17 teilbar ist. Leopolds Beitrag zeigt den Weg dorthin.
11.03.2013, 23:49	Timbonane	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, dann würd ich ja auf die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 2& 0&2&2023\\ 4& 3&0&4301\\1& 6&3&1632\\5& 2&1&5219\\\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ kommen, und wenn ich jetzt eine Entwicklung nach der 4. Spalte mache, komm ich dann ja auf : $\begin{eqnarray} -2023\begin{vmatrix} 4 & 3&0\\ 1 & 6&3\\ 5 & 2&1\\\end{vmatrix}+4301\begin{vmatrix} 2 & 0&2\\ 1 & 6&3\\ 5 & 2&1\\\end{vmatrix}-1632\begin{vmatrix} 2 & 0&2\\ 4 & 3&0\\ 5 & 2&1\\\end{vmatrix}+5219\begin{vmatrix} 2 & 0&2\\ 4 & 3&0\\ 1 & 6&3\\\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 17(-119\begin{vmatrix} 4 & 3&0\\ 1 & 6&3\\ 5 & 2&1\\\end{vmatrix}+253\begin{vmatrix} 2 & 0&2\\ 1 & 6&3\\ 5 & 2&1\\\end{vmatrix}-96\begin{vmatrix} 2 & 0&2\\ 4 & 3&0\\ 5 & 2&1\\\end{vmatrix}+307\begin{vmatrix} 2 & 0&2\\ 4 & 3&0\\ 1 & 6&3\\\end{vmatrix}) \end{eqnarray*}$ Also ist die Determinante dann auch durch 17 teilbar? Macht das so Sinn?
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11.03.2013, 23:56	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist zu umständlich und für den allgemeinen Fall kannst du ja auch keine Entwicklung durchführen. Schau dir die Element der letzten Spalte und meinen vorigen Beitrag an und überlege dir, welche Eigenschaften die Determinante hat.
12.03.2013, 00:02	Timbonane	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm, meinst du damit, dass die Determinante linear in den Spalten ist? Also $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 2& 0&2&2023\\ 4& 3&0&4301\\1& 6&3&1632\\5& 2&1&5219\\\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 17 \begin{vmatrix} 2& 0&2&119\\ 4& 3&0&253\\1& 6&3&96\\5& 2&1&307\\\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ und daraus müsste dann folgen, dass die Determinante durch 17 teilbar ist?
12.03.2013, 00:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
so ist es
12.03.2013, 00:13	Timbonane	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, dann versuch ich mal den Beweis allgemein hinzubekommen, vielen Dank!

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