Exponentielles Wachstum - Berlin

08.03.2013, 14:34

Tipso

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Exponentielles Wachstum - Berlin

Hallo,

Zitat:

Die Bevölkerung Berlins betrug 631.410 im Jahr 1991 und 673.504 im Jahr 2001. Schätzen Sie die Bevölkerung Berlins auf der Basis eines exponentielles Wachstums für die Jahre 2011, 2021, 1981, 1971, (die müssten im Kopf gehen!), 2008, 2020, 2100.
Welche wesentlichen Kritikpunkte kann man gegen das exponentielles Wachstumsmodell vorbringen?
Wann lebte aus der Sicht des exponentielles Wachstumsmodells der „erste Berliner“? Wars xxx (ca. 3300 v.Chr.Geb.), wars FFF (um 1341), wars GGG (um 1525) oder doch der HHH (um 1809)?
Wie viele Berliner lebten um Christi Geburt?
Zeichne „die Berliner Wachstumskurve“.

Diese Aufgabe ist Analog zu dieser:
Lineares Wachstum - Bevölkerung Berlins

1.
Wo ist der Unterschied zwischen dem linearen und dem exponentiellen Modell?
2.
Welches ist besser und warum?

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Lösungsvorschlag:

1.
Linear - nach oben und unten offen.
exponentiell - nach oben offen, nach unten begrenzt. (0)

2.
Sind beide deterministisch.

3.?4.?

2.
Exponentieller Wachstum ist besser geiegnet, da er einen prozentuellen Anstieg pro Einheit angibt und nach unten begrenzt ist.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Lösungsvorschlag für die Rechnung:

Die allgemeine Form:

$\begin{eqnarray*} N(t) = N(0) *a^t \end{eqnarray*}$

Zitat:

Die Bevölkerung Berlins betrug 631.410 im Jahr 1991 und 673.504 im Jahr 2001. Schätzen Sie die Bevölkerung Berlins auf der Basis eines exponentielles Wachstums für die Jahre 2011, 2021, 1981, 1971, (die müssten im Kopf gehen!), 2008, 2020, 2100.

Wie gehe ich vor?
-----------------------

N(10) = 631 410 *a^10 = 673 504

daraus erhalte ich a.

Wie schätze ich dies jedoch vom Kopf?

Ähnelt es dem linearen Modell?

2011 = ca 42 000 mehr als 2001?

---------------------------------------

08.03.2013, 14:56

adiutor62

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RE: Exponentielles Wachstum - Berlin
Exponentielles Wachstum und lineares Wachstum sind nicht vergleichbar.

08.03.2013, 15:09

Tipso

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Mein Professor meint schon.

Er meint auch, das wenn wir exponentielle Gleichungen Logarithmieren, wir auf lineare Gleichungen stoßen.

lg

08.03.2013, 15:13

adiutor62

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Ich meinte, es sind zwei völlig verschiedene Wachstumsprozesse. Schau dir dazu nur mal die Graphen an.
Welche linearen Gleichungen meint dein Prof. konkret ?

08.03.2013, 15:17

Tipso

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Lineares Wachstum - Bevölkerung Berlins

Analog dazu wird dieses Beispiel hergenommen.
Nachdem beide berechnet werden, werden sie verglichen.

Ich habe noch 30min.

------------------------------------------------------------

Deshalb würde ich vorschlagen, wir springen vorerst auf die Aufgabenstellung und kommen später auf den Vergleich zurück.

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Zitat:

Die Bevölkerung Berlins betrug 631.410 im Jahr 1991 und 673.504 im Jahr 2001. Schätzen Sie die Bevölkerung Berlins auf der Basis eines exponentielles Wachstums für die Jahre 2011, 2021, 1981, 1971, (die müssten im Kopf gehen!), 2008, 2020, 2100.

Wie schätze ich hier?

08.03.2013, 15:24

adiutor62

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Du kennst die Zunahme für jeweils 10 Jahre (a^10)= rd. 6,7%, also etwa 7%. Damit kannst du alle weiteren 10 Jahreszeiträume abschätzen (nach vorne und zurück).

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08.03.2013, 15:34

Tipso

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Bin mir nicht ganz sicher, ob ich es ohne Taschenrechner schaffen würde ..

Alle 10 Jahre ca. Verdoppelung.
Alle 10 Jahre zurück ca. Teilung.

Dabei habe ich mich daran gehalten, dass 1,07^x. x = Jahre.

----------------------------------------------------------------------------------------------

Die 7% erhält von von der Differenz.

rd.?
----------------------------------------------------------------------------------------------

Für die Jahre 2008, 2020, 2100 nehme ich die Formel.

Wo ist hier der große Unterschied zu 2011, 2021.

Es verläuft nicht in 10er Schritten.

Wo ist der große Unterschied zur linearen Gleichung?

Mit dieser erhalte ich ganz andere Ergebnisse.

lg

08.03.2013, 15:37

Tipso

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Edit:

Für 2008, 2011 etc. brauche ich a.

lg

08.03.2013, 15:45

adiutor62

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Du missverstehst das: 2001 sind es ca. 7% mehr bezogen auf 1991. a^10 war doch rd. 1,07, nicht a selbst.

08.03.2013, 16:01

Tipso

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Ich habe es nun verstanden.

Nächster Schritt:

Berechnen von a um für die Jahre 2008, 2020 und 2100 zu berechnen.
--------------------------------------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} N(10) = 631 410 *a^10 = 673 504 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^10 = \frac{673 504}{631 410} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt[10]{\frac{673 504}{631 410} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = 1,006474723 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(2008) = 631 410 * a^{2008} = 2,68 *10^11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(2020) = 631 410 * a^{2020} = 2,89 * 10^11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(2100) = 631 410 * a^{2100} = 4,85 * 10^11 \end{eqnarray*}$

falsch, da mein 0 = 1991 ...

$\begin{eqnarray*} N(2008) = 631 410 * a^{17} = 704628,63 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(2020) = 631 410 * a^{29} = 761368,236 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(2100) = 631 410 * a^{109} = 1203922,946 \end{eqnarray*}$

Warum erhalte ich nun so verschiedene Ergebnisse, in der gleichen Aufgabe, für lineare bzw. exponentielle Wachstumsverläufe. Wie unterscheiden sich diese genau?
lg

Ich bin jetzt arbeiten und heute sehr wahrscheinlich nur noch um 22 Uhr kurz online.
Ab Morgen wieder voll verfügbar.

Den nächsten Schritt erledige ich aber noch heute.
Welche wesentlichen Kritikpunkte kann man gegen das exponentielles Wachstumsmodell vorbringen?
Wann lebte aus der Sicht des exponentielles Wachstumsmodells der „erste Berliner“? Wars xxx (ca. 3300 v.Chr.Geb.), wars FFF (um 1341), wars GGG (um 1525) oder doch der HHH (um 1809)?
Wie viele Berliner lebten um Christi Geburt?

08.03.2013, 16:31

adiutor62

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Dazu ein Vergleich:
Wenn du 10000 Euro zu 5% "linear" anlegen würdest, würdest du jedes Jahr 500 Euro Zinsen bekommen. Du hättest also nach 10 Jahren zusammen mit deinem Anfangskapital insgesamt
15000 Euro auf dem Konto. (10000+10*500).

Würden sich die Zinsen aber jedes Jahren mitverzinsen, hättest du nach 10 Jahren: 10000*1,05^10
Euro auf dem Konto, also 16288,94 Euro. Das sind 1288,94 Euro mehr als bei der "linearen" Anlage.
Hier ist das Kapital exponentiell gewachsen. Je länger das Spiel geht, desto gravierender sind die Unterschiede.
Nach 40 Jahren sieht das Endkapital so aus:
linear: 30000 Euro (10000+40*500)
exponentiell: 70399,88 (10000*1,05^40)

Du siehst den gewaltigen Unterschied. Beim linearen Wachstum ist der Zahlenwert pro Periode(hier: 1 Jahr) immer derselbe, beim exponentiellen Wachstum ist der Prozentwert pro Periode (hier: im Vergleich zum Vorjahr) immer derselbe. Analog läuft es beim Bevölkerungswachstum.Das sollte eigentlich als Erklärung genügen.
Im Gegensatz zur Geldanlage, wo es feste Verträge gibt, kann man beim Bevölkerungswachstum
nicht von einem immer gleichen "Zinsfaktor" ausgehen.Der kann sich im Prinzip ständig ändern, so dass man nur über längere Zeiträume halbwegs sinnvolle Prognosen erstellen kann. Aber es bleiben letztlich nur Prognosen, die keinen sicheren Endwert garantieren können.
Die konkrete Zukunft bleibt immer im Dunkeln. Daran scheitern auch die meistenSpekulationen
und machen das Leben (und Geldverdienen an der Börse etwa) so schwierig. smile

smile

08.03.2013, 22:35

Tipso

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Hi,

Thx für die Erklärung. Freude

Freude

--------------------------------------

Wir können weiterfahren?

Zitat:

Welche wesentlichen Kritikpunkte kann man gegen das exponentielles Wachstumsmodell vorbringen?

Es ist deterministisch, äußerliche Einflussfaktoren können nicht berücksichtigt werden.
Es geht von einem unendlichen Wachstum aus. Es ist nach oben offen.
Zahlenwerte auf dem kontinum. Also es gibt auch gebrochene Zahlen, wie 4,4, es gibt aber nicht 4,4 Schrauben oder dergleichen.

Weitere Punkte?

Zitat:

Wann lebte aus der Sicht des exponentielles Wachstumsmodells der „erste Berliner“? Wars xxx (ca. 3300 v.Chr.Geb.), wars FFF (um 1341), wars GGG (um 1525) oder doch der HHH (um 1809)?

Hier wird es ganz interessant.

Wie sieht es formal aus?

$\begin{eqnarray*} N(t) = N_0*a^t \end{eqnarray*}$

Wir suchen??

$\begin{eqnarray*} N(t) = N_0*a^t = 1 \end{eqnarray*}$

??

09.03.2013, 12:07

Tipso

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Wann lebte der erste Berliner?

Was ist gesucht?

$\begin{eqnarray*} N(t) = N_0*a^t = 1 \end{eqnarray*}$

t ist gesucht.

Was ist gegeben?

$\begin{eqnarray*} 673.504 = 631.410 * 1,006474723^t \end{eqnarray*}$

demnach forme ich einfach um, um t zu erhalten.
Dieses wäre 10 Jahre. Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} N(t) = 631.410 * 1,006474723^t = 1 \end{eqnarray*}$

So ?

Dabei ist N(t) = 1.

Jetzt forme ich um und erhalte so mein Ergebnis.

09.03.2013, 12:26

adiutor62

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Dein Ergebnis ?

09.03.2013, 12:34

Tipso

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$\begin{eqnarray*} N(t) = - 2069,41 \end{eqnarray*}$

Was bedeutet dies?

Ich habe meinen Anfangsjahr im Jahr 1990.
Also -2069,41 + 1990 = - 79,41 Jahre.

Der erste Mensch lebte ca. 80 vor Christus.

lg
Edit:
Hab mich um 1 Jahr vertan.
Der Anfang war im Jahr 1991.

09.03.2013, 12:39

adiutor62

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Das dürfte jetzt stimmen. smile

smile

09.03.2013, 12:47

Tipso

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Freude

1.
Irritierend finde ich, dass mehrere Angaben gemacht werden, wann dies sein könnte, aber keiner dieser Angaben ist richtig.

Ich meine:

Wann lebte aus der Sicht des exponentielles Wachstumsmodells der „erste Berliner“? Wars xxx (ca. 3300 v.Chr.Geb.), wars FFF (um 1341), wars GGG (um 1525) oder doch der HHH (um 1809)?

2.
Du hast nichts zu:

Zitat:

Welche wesentlichen Kritikpunkte kann man gegen das exponentielles Wachstumsmodell vorbringen?

Es ist deterministisch, äußerliche Einflussfaktoren können nicht berücksichtigt werden.
Es geht von einem unendlichen Wachstum aus. Es ist nach oben offen.
Zahlenwerte auf dem kontinum. Also es gibt auch gebrochene Zahlen, wie 4,4, es gibt aber nicht 4,4 Schrauben oder dergleichen.

Weitere Punkte?
gesagt.

3.
Vorletzer Punkt:

Zitat:

Wie viele Berliner lebten um Christi Geburt?

Jetzt wird die Gleichung interessant.
Darf ich hier 0 einsetzen?

$\begin{eqnarray*} N(t) = 631.410 * 1,006474723^t = 0 \end{eqnarray*}$

Ich tippe auf nein, da ich in diesem Fall 0 als Ergebnis erhalte.

09.03.2013, 13:09

adiutor62

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zu2. Die Theoriefragen überlasse ich dir.

zu3. Was sollte das für einen Sinn machen ? Zum sinnvollen Rechnen brauchst du immer einen Wert
ungleich NULL. Denk an den Logaritmus: Was gilt denn für ln(0).

09.03.2013, 13:19

Tipso

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ln(0) ist nicht definiert.

Wie lösen wir dieses Dilemma?

Ich habe zwei Vorschläge und ich glaube, dass beide gehen.

1.

Wir setzen einfach -1990 als Exponenten ein.

$\begin{eqnarray*} N(-1991) = 631.410 * 1,006474723^{-1991} = 1,69 \end{eqnarray*}$

2.

$\begin{eqnarray*} N(t) = 631.410 * 1,006474723^t = 1 \end{eqnarray*}$

lg

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