Was passiert mit x^n in der Norm?

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12.03.2013, 18:09	klausi1732	Auf diesen Beitrag antworten »
Was passiert mit x^n in der Norm? Meine Frage: Hallo, meine Frage ist was $\begin{eqnarray} \| \| x^n \| \| _{1} \end{eqnarray}$ ergibt? Meine Ideen: Also die folge konvergiert ja punktweise gegen 0 für alle x aus [0,1) und gegen 1 für x=1. Wie berechne ich nun das Integral der Norm? $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! \| x^n \| \, dx \end{eqnarray}$
12.03.2013, 18:18	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja da du dich ja auf dem Intervall größer Null befindest, kannst du den Betrag im Integral weglassen und erhältst: $\begin{eqnarray} \int\limits_0^1\|x^n\|\, dx = \int\limits_0^1 x^n\, dx =\left. \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right\|_0^1 = \ldots \end{eqnarray}$
12.03.2013, 18:20	klausi1732	Auf diesen Beitrag antworten »
und hier muss ich nun den Grenzwert bilden?
12.03.2013, 18:21	klausi1732	Auf diesen Beitrag antworten »
welcher dann ja Null wäre oder?
12.03.2013, 18:22	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du den Grenzwerten berechnen willst, dann ja.
12.03.2013, 18:27	klausi1732	Auf diesen Beitrag antworten »
eigentlich möchte ich die Norm berechnen... Gehört da der Grenzwert dazu?
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12.03.2013, 18:30	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Norm ist Norm - eine Längendefinition in einem Vektorraum. Den Grenzwert kann man bilden, wenn man irgendwelche Konvergenzen betrachten will/muss.
12.03.2013, 18:32	klausi1732	Auf diesen Beitrag antworten »
mmmmh ich müsste die 1-Norm mit der unendlichnorm vergleichen, deshalb dachte ichs...
12.03.2013, 18:33	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja dann musst du doch nur die Normen ausrechnen und vergleichen. Da brauchst du keine Grenzwerte.
12.03.2013, 18:36	klausi1732	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe ich das aber richtig dass die unendlichnorm von x^n gleich 1 ist, weil dies das Supremum der Funktionenfolge ist? mit x aus [0,1]
12.03.2013, 18:38	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das verstehst du richtig.
12.03.2013, 18:39	klausi1732	Auf diesen Beitrag antworten »
ah jetzt versteh ichs. Danke!
12.03.2013, 19:13	klausi1732	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt möchte ich doch nochmal was nachfragen, ich muss zeigen dass folgendes nicht gilt: $\begin{eqnarray} c\| \| x^n \| \|_{\infty } \leq \| \| x^n \| \| _{1} \quad c\in \mathbb R \end{eqnarray}$ Also : $\begin{eqnarray} c\| \| 1 \| \|_{\infty } \leq \| \| \frac{1}{1+n} \| \| _{1} \quad c\in \mathbb R \end{eqnarray}$ da nun aber die 1-Norm gegen null geht kann ich kein c ungleich 0 finden dass die Gleichung löst. so richtig?
12.03.2013, 20:54	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kann noch was nicht stimmen. Ich nehme an, dass für c gilt: $\begin{eqnarray} 0<c<\infty \end{eqnarray}$ . Weiterhin geht es hier doch auch sicher um alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , oder?
12.03.2013, 22:31	klausi1732	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt, ist mein Bewies falsch?
12.03.2013, 22:39	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee ist schon richtig. Nur die Formulierung muss noch verbessert werden. Bis jetzt sind das nur irgendwie zwei aufgeschriebene Ungleichungen. Auch ist $\begin{eqnarray} \\|1\\|_\infty \end{eqnarray}$ komisch. Du scheinst die Idee hinter den Normen noch nicht ganz verstanden haben. Wenn du die Norm ausrechnest kommt 1 raus und nicht die Norm von 1... Das gleiche auf der anderen Seite der Ungleichung.
12.03.2013, 22:50	klausi1732	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt natürlich, das war ein flüchtigkeitsfehler... Hab aber leider keine wirkliche idee wie ichs besser hinschreiben sollte?
12.03.2013, 22:53	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast ja schon alles wichtige geschrieben. Du musst das jetzt nur noch sauber als Widerspruchsbeweis aufschreiben.
12.03.2013, 23:06	klausi1732	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also Wiederspruchsannahme: Es existiert ein c>o mit sodass gilt für alle c>0 kleiner unendlich $\begin{eqnarray} c\| \| x^n \| \|_{\infty } \leq \| \| x^n \| \| _{1} \Rightarrow c1 \leq \frac{1}{n+1} \quad \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ so bis jetzt müssts passen, nur was mach ich mit den n?
12.03.2013, 23:09	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja dann stellt man fest, so wie du schon gesagt hast, dass es ein n gibt, ab dem diese Ungleichung nunmal nichtmehr gelten kann und ist fertig.
12.03.2013, 23:13	klausi1732	Auf diesen Beitrag antworten »
Also sage ich einfach für alle c existiert ein n, sodass die ungleichung nicht mehr gilt. Muss ich das noch zeigen?
12.03.2013, 23:18	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne das brauchst du nicht zu zeigen, da $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+n} \end{eqnarray}$ eine Nullfolge ist.
12.03.2013, 23:20	klausi1732	Auf diesen Beitrag antworten »
ach ja genau! Vielen vielen dank für die Hilfe!

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