Umfang eines Kreises der durch andere Kreise erzeugt wird

14.03.2013, 15:23	FvonB	Auf diesen Beitrag antworten »
Umfang eines Kreises der durch andere Kreise erzeugt wird Meine Frage: Hallo, ich habe eine Menge von (zufälligen) Kreisen von denen alle Parameter bekannt sind. Ich möchte diese Kreise mit ihrem Mittelpunkt auf einer Kreisbahn zeichnen, so dass kein Kreis einen anderen überlappt. Gibt es eine Möglichkeit den Umfang/Durchmesser des zu Grunde liegenden Kreises zu bestimmen? Also den Wert von x im angehängten Bild. Meine Ideen: Wenn ich alle Durchmesser addiere bekomme ich eine Annäherung aber dieser Wert ist natürlich zu klein. Ich bin mir nicht sicher ob es überhaupt einen Weg gibt das Problem zu lösen, dies ist nicht Teil einer Schulhausaufgabe sondern ein Problem welches sich mir beim programmieren einer Diagrammsoftware stellt.
15.03.2013, 14:36	HAB	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umfang eines Kreises der durch andere Kreise erzeugt wird $\begin{eqnarray} r_{1},r_{2},r_{3},......r_{n} \end{eqnarray}$ seien die Radien der Kreise, die in dieser Reihenfolge auf dem Kreis mit dem Radius R aneinander liegen sollen. Dann gilt, wie man aus der anliegenden Skizze erkennen kann: $\begin{eqnarray} sin(\frac{\alpha _{12} }{2}) =\frac{\frac{r_{1}+r_{2}}{2} }{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\alpha _{12} }{2} =arcsin(\frac{\frac{r_{1}+r_{2}}{2} }{R}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha _{12} =2\cdot arcsin(\frac{\frac{r_{1}+r_{2}}{2} }{R}) \end{eqnarray}$ Addiert man all diese Winkel, so erhält man (im Bogenmaß) $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \pi =arcsin(\frac{\frac{r_{1}+r_{2}}{2} }{R}) + arcsin(\frac{\frac{r_{2}+r_{3}}{2} }{R})+.......+arcsin(\frac{\frac{r_{n-1}+r_{n}}{2} }{R}) + arcsin(\frac{\frac{r_{n}+r_{1}}{2} }{R}) \end{eqnarray}$ Diese Gleichung lässt sich mit einem Mathe-Programm (z.B. derive) numerisch lösen.

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