Matrizen mit Bedingungen angeben

14.03.2013, 19:00

123489

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Matrizen mit Bedingungen angeben

Meine Frage:
Geben sie eine Matrix an die die folgenden Eigenschaften hat:

$\begin{eqnarray*} Ax=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat keine Lösung

$\begin{eqnarray*} Ax=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat genau eine Lösung

Meine Ideen:
Meine Idee war, dass wenn diese Matrix keine Lösung hat, ja ein Widerspruch innerhalb der Matrix sein
muss. Wenn die Matrix genau eine Lösung haben soll, muss die Determinante ja !=0 sein und keinen Widerspruch haben.
Mein Problem liegt jetzt darin, das zu einer vollständigen Lösung zusammenzubringen.
Danke schon mal für die Vorschläge.

LaTeX-Tags eingefügt. Steffen

14.03.2013, 20:04

Che Netzer

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RE: Matrizen mit Bedingungen angeben
Matrizen haben weder Widersprüche noch Lösungen.

Als erstes solltest du dir mal überlegen, welche Größe $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ haben muss.

14.03.2013, 22:16

123489

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ja gut,
ich meine das dazugehöhrige gleichungssystem, das sich dirch Ax=b aufstellen lässt.
was meinst du mit Größe?

14.03.2013, 22:17

Che Netzer

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Wieviele Zeilen und wieviele Spalten die Matrix haben muss.

14.03.2013, 23:29

123489

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eine 3x3 Matrix, richtig?

14.03.2013, 23:40

Che Netzer

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Nein

Augenzwinkern

Wenn für eine quadratische Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} Ax=b \end{eqnarray*}$ für irgendein $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ eindeutig lösbar ist, dann auch für jedes beliebige $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

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15.03.2013, 06:46

123489

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okay stimmt, mein fehler.
sondern?

15.03.2013, 11:10

Che Netzer

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Zunächst einmal kannst du ja die Anzahl der Zeilen bestimmen.

15.03.2013, 11:16

123489

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wie muss ich dazu vorgehen? weil die spalten müssen ja 3 sein.

15.03.2013, 11:21

Che Netzer

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Nein, es müssten drei Zeilen sein.
Jetzt haben wir folgende Informationen:
Der Kern der Matrix soll nur der Nullvektor sein (sonst gäbe es keine eindeutigen Lösungen).
Das Bild soll mindestens eindimensional sein, darf aber $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nicht enthalten, darf also höchstens zweidimensional sein.

Hast du jetzt weitere Ideen?

15.03.2013, 13:36

123489

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gut, das mit dem kern leuchtet ein, aber wenn die spalten < 3 sind bekomm ich doch kein 3 zeilen spaltenvektor als ergebnis?

15.03.2013, 14:20

Che Netzer

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Wieso nicht?
Wenn die Matrix drei Zeilen hat, dann auch jeder Vektor, der durch Multiplikation mit einem anderen passenden Vektor entsteht.

15.03.2013, 14:26

123489

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wenn ich eine matrix mit einem zeilenvektor multipliziere, setzt es doch vorraus das die spalten der matrix = zeilen des vektors?

15.03.2013, 14:29

Che Netzer

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Wir multiplizieren eine Matrix mit einem Spaltenvektor.
Aber ja, dessen Zeilenzahl muss mit der Anzahl der Spalten der Matrix übereinstimmen.
Die Anzahl der Zeilen des Vektors, der dabei entsteht, entspricht aber der Anzahl der Zeilen der Matrix.

15.03.2013, 14:59

123489

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tschuldige, meinte ich, hab mich verschrieben.
ja das ist klar.
anzahl der spalten der matrix kann doch dann nicht < 3 sein oder seh ich das falsch?

15.03.2013, 15:12

Che Netzer

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Doch.
Z.B:
Eine $\begin{eqnarray*} 3\times 2 \end{eqnarray*}$ -Matrix multipliziert mit einem Spaltenvektor mit zwei Zeilen ergibt einen Spaltenvektor mit drei Zeilen.

15.03.2013, 16:16

123489

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natürlich, jetzt geht ein lichtlein auf.
wie lassen sich jetzt die beiden bedingungen zusammenführen?
der kern der matrix sollte ja 0 sein

15.03.2013, 16:31

Che Netzer

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Du suchst also eine Matrix der Größe $\begin{eqnarray*} 3\times n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n<3 \end{eqnarray*}$ , die vollen Rang hat.

15.03.2013, 17:31

123489

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also irgendwie machts nicht klick. wie kann ich damit beide bedingungen zusammenführen?

15.03.2013, 17:43

Che Netzer

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Welche beiden Bedingungen meinst du denn?

Schreibe doch mal auf, welche beiden Größen für die Matrix in Frage kommen würden.
Welche davon ist einfacher zu handhaben?

15.03.2013, 17:48

123489

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ja das es sowohl eine Lösung, als auch keine Lösung haben soll.
in Frage kommen würde natürlich eine 3x2 Matrix und ebenfalls ein 3 zeiliger Spaltenvektor.
Einfacher zu handhaben wäre sicherlich der Spaltenvektor.

15.03.2013, 18:09

Che Netzer

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Zitat:

Original von 123489
Einfacher zu handhaben wäre sicherlich der Spaltenvektor.

Genau.
Und findest du einen Spaltenvektor $\begin{eqnarray*} A\in\mathbb R^{3,1} \end{eqnarray*}$ , so dass
$\begin{eqnarray*} Ax=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
für genau ein $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^{1,1}=\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist?

15.03.2013, 19:00

123489

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ja 0/1/0?

15.03.2013, 19:07

Che Netzer

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Genau. Und hat
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
eine Lösung $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^{1,1} \end{eqnarray*}$ ?

15.03.2013, 19:10

123489

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natürlich nicht.
vielen Dank für die Geduld! smile

smile

16.03.2013, 12:51

123489

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aber wenn ich vektor mal vektor mache, kommt doch eine zahl raus, oder irre ich mich da?

16.03.2013, 13:00

Che Netzer

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Wenn du "Vektor mal Vektor machst" und damit das Skalarprodukt meinst, ist das Produkt skalar, ja.
Aber hier ist ja $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^{1,1} \end{eqnarray*}$ eigentlich auch eine Zahl.
Und eine $\begin{eqnarray*} 3\times1 \end{eqnarray*}$ -"Matrix" multipliziert mit einem $\begin{eqnarray*} 1\times1 \end{eqnarray*}$ -"Vektor" ergibt einen $\begin{eqnarray*} 3\times1 \end{eqnarray*}$ -Vektor.

16.03.2013, 13:35

123489

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x ist keine Zahl, x ist ein vektor

16.03.2013, 13:37

Che Netzer

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Eine Zahl ist ein Vektor.

16.03.2013, 14:02

123489

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ja klar, aber in dem fall ist x ein 3x1 vektor

16.03.2013, 14:09

Che Netzer

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Nein, wie kommst du denn auf die Idee?

16.03.2013, 15:00

123489

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weil der dozent wortwörtlich meinte: " dass es eine Aufgabe mit niveau ist und nicht so einfach zu lösen"

16.03.2013, 15:05

Che Netzer

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Dann hat er entweder übertrieben oder meint, es sei nicht sehr intuitiv, $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit nur einer Spalte zu wählen.

Wieso du deswegen aber immer noch ein Problem mit der Aufgabe hast, ist mir nicht ganz klar...

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